Corpul cu gaură (rotația regiunii dintre două grafice): formulă

Formulă din tema Aplicații ale integralei definite, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Se obține ca diferență de două volume cunoscute; secțiunea perpendiculară pe axă este o coroană circulară de raze $g(x)$ și $f(x)$, cu aria $\pi f^2(x)-\pi g^2(x)$. ⚠️ Se integrează diferența pătratelor, nu pătratul diferenței: $f^2-g^2\ne (f-g{)}^2$. Condiția $g\ge 0$ e necesară pentru ca „gaura” să aibă sens ca rotație a unui subgrafic; o gaură care străbate corpul dintr-un capăt în celălalt cere $g>0$ pe tot intervalul.

Exemplu: Țeava dintre $f(x)=2$ și $g(x)=1$ pe $[0,3]$: $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^3(4-1)dx=9\pi$, adică $12\pi -3\pi$ ✓.