Forum Matepolis: întrebări de matematică cu răspuns
Cele 487 de întrebări de matematică, cu răspuns direct, exemplu explicat și greșeala de evitat — de la clasa pregătitoare la a XII-a.
Pe teme
- Numere și calcul în clasele primare 25
- Înțelegerea și modelarea problemelor 25
- Împărțire, divizibilitate și numere 24
- Fracții și numere zecimale 24
- Procente, rapoarte și aplicații 24
- Semne, puteri și ordinea operațiilor 25
- Radicali, modul și numere reale 24
- Expresii și transformări algebrice 24
- Ecuații, inecuații și sisteme 25
- Mulțimi, intervale și raționament 25
- Triunghiuri și argumente geometrice 24
- Patrulatere și cerc 24
- Geometrie în spațiu și măsurători 25
- Funcții, coordonate și șiruri 23
- Exponențiale și logaritmi 24
- Trigonometrie, vectori și complexe 25
- Numărare, probabilități și statistică 23
- Matrice, sisteme și polinoame 25
- Limite, continuitate și derivate 25
- Integrale și structuri algebrice 24
Clasa I
25
- De ce copilul scrie 304 în loc de 34?
- De ce 099 nu este un număr de trei cifre?
- Cum explic diferența dintre cifra zecilor și numărul zecilor?
- De ce 8+7 devine 10+5 când trecem peste zece?
- Se poate reține 2 când adunăm trei numere în coloană?
- De ce 52-38 nu se calculează făcând 8-2 la unități?
- Cum trec împrumutul peste două zerouri la 1002-587?
- De ce al doilea rând la înmulțirea în coloană se deplasează?
- Cum recuperez 7×8 dacă am uitat rezultatul?
- De ce 12×15 nu este 1×1 urmat de 2×5?
- De ce 101×9 este mai ușor prin 100×9+9?
- Cum verific repede dacă 398+207 poate fi 505?
- De ce rotunjirea de două ori poate schimba rezultatul?
- Ce numere întregi se rotunjesc la 300, la sute?
- De ce între 10 și 20 sunt 11 numere, dar 10 pași?
- Poate rezultatul unei înmulțiri să fie mai mic decât un factor?
- Cum explic 18-9 fără să număr nouă pași înapoi?
- De ce 24-8-6 nu este 24-(8-6)?
- Pot schimba ordinea numerelor când împart succesiv?
- Cum verific dacă un copil a numărat un obiect de două ori?
- De ce «al cincilea» nu înseamnă «cinci obiecte»?
- Cum număr obiectele așezate în rânduri incomplete?
- De ce 3 zeci și 14 unități formează 44?
- Cum deosebesc un șir repetitiv de unul crescător?
- Se poate verifica o adunare doar schimbând termenii între ei?
Clasa a II-a
25
- De ce «cu 3 mai mult» și «de 3 ori mai mult» dau rezultate diferite?
- De ce uneori adun într-o problemă care spune «mai puțin»?
- Cum rezolv o comparație de trei persoane fără să le încurc?
- De ce diferența banilor se schimbă cu dublul sumei transferate?
- Cum aflu numerele dacă știu suma și diferența după un transfer?
- De ce o problemă cu sumă impară și diferență pară nu are soluții întregi?
- Cum rezolv o problemă în care o fracție se ia din ce rămâne?
- Cum aflu totalul dacă după cheltuirea a două fracții rămâne o sumă?
- De ce la problemele cu vârste diferența rămâne constantă?
- Cum aflu peste câți ani o vârstă va fi dublul celeilalte?
- De ce la «de trei ori mai puțin» trebuie clarificată referința?
- Cum aleg numărul de autobuze dacă împărțirea are rest?
- Cum aleg numărul de pachete complete dacă împărțirea are rest?
- De ce cinci tăieturi pot produce șase bucăți?
- Cum număr stâlpii unui gard deschis față de unul închis?
- Cum calculez timpul dintre două ore care trec de miezul nopții?
- De ce 1,5 ore nu înseamnă o oră și 50 de minute?
- Cum rezolv întâlnirea a doi pietoni care pornesc unul spre altul?
- Cum calculez ajungerea din urmă când unul are avans?
- Cum rezolv lucrul împreună când duratele sunt diferite?
- Cum includ o scurgere într-o problemă cu bazinul?
- Cum aflu prețurile când două cumpărături au un produs comun?
- Cum găsesc datele în plus într-o problemă?
- Cum îmi dau seama că lipsesc date pentru un răspuns unic?
- Cum verific răspunsul unei probleme, dincolo de calcul?
Clasa a III-a
24
- De ce 1/2+1/3 nu este 2/5?
- Cum compar porții fracționare luate din întregi diferiți?
- Pot simplifica termenii unei sume dintr-o fracție?
- De ce la împărțirea fracțiilor inversez doar a doua fracție?
- De ce 3:1/2 este 6, deși împărțirea pare că micșorează?
- De ce 0,3 este mai mare decât 0,27?
- De ce 0,50 și 0,5 sunt egale?
- De ce 2,4×0,3 nu poate fi 7,2?
- De ce mut virgula în ambele numere la o împărțire zecimală?
- Cum scriu 0,1(6) ca fracție fără să includ greșit perioada?
- De ce 0,(9) este exact 1, nu puțin mai mic?
- Cum știu dacă o fracție are zecimale finite fără să împart?
- Cum compar două fracții apropiate de 1 fără numitor comun?
- Cum găsesc o fracție între două fracții distincte?
- De ce 2 întregi și 1/3 nu înseamnă 2/3?
- Cum transform corect un număr mixt negativ în fracție?
- De ce o fracție cu numitor negativ poate avea numitor pozitiv?
- Cum adun fracții când numitorul comun nu este produsul lor?
- De ce amplificarea nu schimbă cantitatea unei fracții?
- Cum aflu întregul dacă 3/5 din el reprezintă 42?
- Cum deosebesc 2/3 din 3/4 de 2/3 plus 3/4?
- Pot rotunji fracțiile înainte de a termina calculul?
- Cum interpretez o fracție dintr-un număr de persoane?
- De ce două fracții cu același numărător se ordonează invers după numitor?
Clasa a IV-a
24
- De ce restul nu poate fi egal cu împărțitorul?
- Cum aflu toate numerele care dau același cât la împărțire?
- De ce trebuie păstrat zeroul din mijlocul câtului?
- Este suficient ca un număr să fie divizibil cu 2 și 4 pentru a fi divizibil cu 8?
- De ce verific ultimele două cifre pentru divizibilitatea cu 4?
- De ce suma cifrelor funcționează la 9, dar nu la 7?
- Poate suma a două numere nedivizibile cu 3 să fie divizibilă cu 3?
- De ce produsul a două numere consecutive este mereu par?
- De ce trei numere consecutive au produsul divizibil cu 6?
- Poate un număr pătrat perfect să aibă un număr impar de divizori?
- Cum aflu numărul divizorilor fără să îi enumăr?
- Pot două numere compuse să fie prime între ele?
- De ce 1 nu poate fi folosit ca factor prim în descompunere?
- Cum verific dacă un număr este prim fără să testez toți divizorii?
- De ce algoritmul lui Euclid păstrează cel mai mare divizor comun?
- Cum aleg dimensiunea maximă a unor pătrate care acoperă un dreptunghi?
- Cum aflu când se repetă simultan două evenimente periodice?
- Cum aflu cel mai mic număr cu același rest la doi împărțitori?
- De ce cel mai mic multiplu comun nu este mereu produsul numerelor?
- Cum găsesc ultima cifră a unei puteri foarte mari?
- Poate un pătrat perfect să se termine în 2, 3, 7 sau 8?
- Cu ce număr natural pozitiv minim înmulțesc 72 pentru a obține un pătrat perfect?
- De ce numărul de zerouri de la finalul unui produs depinde de factorii 5?
- Cum aflu restul unui număr negativ la împărțirea euclidiană?
Clasa a V-a
122
- De ce o scumpire și o reducere cu același procent nu se anulează?
- Cum aflu prețul inițial după o reducere de 20%?
- Ce creștere procentuală recuperează o scădere de 25%?
- O reducere de 10% urmată de 20% înseamnă 30%?
- Contează ordinea a două reduceri procentuale succesive?
- De ce un cupon fix și o reducere procentuală pot da prețuri diferite după ordine?
- Care este diferența dintre procente și puncte procentuale?
- Cum calculez un procent când valoarea de bază este zero?
- Poate un procent să fie mai mare de 100%?
- Cum trec de la raportul fete:băieți la procentul fetelor?
- Cum împart o sumă invers proporțional cu 2 și 3?
- Cum aflu procentul elevilor care au reușit din cei prezenți?
- De ce media a două procente poate fi greșită?
- Cum adaug la preț o taxă ipotetică de 12%?
- Cum scot o taxă procentuală deja inclusă într-un total?
- De ce adaosul de 25% nu înseamnă marjă de 25%?
- Cum calculez schimbarea totală după mai multe creșteri anuale?
- De ce dublarea lungimii nu dublează aria?
- Cum trec de la o scară de hartă la distanța reală?
- Cum se schimbă scara unei hărți mărite la imprimare?
- De ce o rețetă pentru 4 persoane se înmulțește cu 1,5 pentru 6 persoane?
- Cum verific dacă două mărimi sunt direct proporționale dintr-un tabel?
- Cum verific proporționalitatea inversă fără regula de trei?
- Cum compar două ambalaje după prețul pe aceeași cantitate?
- De ce -3² și (-3)² au rezultate diferite?
- De ce un exponent negativ nu face automat rezultatul negativ?
- Cum deosebesc opusul de inversul unui număr?
- De ce scăderea unui număr negativ devine adunare?
- Cum calculez diferența de temperatură între -7°C și 5°C?
- De ce -1 este mai mare decât -10 pe axa numerelor?
- Cum număr semnele minus într-un produs lung?
- De ce (2³)² nu este 2⁵?
- Pot aduna exponenții dacă bazele sunt diferite?
- De ce 2³+2³ nu este 2⁶?
- Ce se întâmplă cu 0⁰ într-un exercițiu școlar?
- De ce 0⁻² nu există ca număr real?
- Cum compar 2³⁰ și 8¹⁰ fără să le calculez?
- De ce (1/2)⁵ este mai mic decât (1/2)³?
- Cum citesc corect 2 la puterea 3 la puterea 2?
- De ce 6:2×3 se calculează de la stânga la dreapta?
- Cum rescriu o expresie de tipul 6/2(1+2) fără ambiguitate?
- De ce bara de fracție se comportă ca o paranteză?
- Cum verific semnul unei expresii înainte de calcule?
- Pot scoate un minus comun fără să schimb toate semnele?
- De ce distanța dintre două numere este mereu nenegativă?
- Cum scriu în notație științifică un număr foarte mic?
- De ce adunarea în notație științifică cere același exponent?
- Cum estimez ordinul de mărime al unui produs?
- De ce un pătrat perfect real nu poate fi negativ?
- De ce infinitul nu primește paranteză pătrată la intervale?
- Cum deosebesc intervalul (2,5) de perechea de coordonate (2,5)?
- De ce [2,2] este un singur număr, iar (2,2) este vid?
- Cum număr întregii dintr-un interval cu capete neîntregi?
- De ce zero aparține numerelor naturale în unele materiale, dar nu în altele?
- Poate un număr întreg să fie și rațional?
- De ce o mulțime nu numără de două ori același element?
- Care este diferența dintre ∅ și {∅}?
- De ce 2∈ A și {2}⊆A exprimă lucruri diferite?
- Cum calculez cardinalul reuniunii fără să dublez intersecția?
- Cum aflu câți nu fac niciuna dintre două activități?
- De ce A\B nu este în general egal cu B\A?
- Cum găsesc complementara unei mulțimi fără univers precizat?
- Cum neg corect afirmația «toți elevii au rezolvat»?
- Cum neg corect afirmația «există un număr cu proprietatea P»?
- De ce un singur contraexemplu poate respinge o regulă?
- De ce zece exemple corecte nu demonstrează o regulă pentru toate numerele?
- Care este diferența dintre o afirmație și reciproca ei?
- Cum demonstrez prin contrapozitivă?
- De ce «necesar» nu înseamnă «suficient»?
- Cum interpretez «sau» într-un enunț matematic?
- Cum diferă «cel puțin două» de «mai mult de două»?
- De ce perechile (a,b) și (b,a) pot fi diferite?
- Cum număr submulțimile fără să le scriu pe toate?
- De ce demonstrația prin inducție are nevoie și de cazul de bază?
- De ce 1 m² nu înseamnă 100 cm²?
- De ce 1 m³ înseamnă un milion de cm³?
- Cum transform metri pătrați în metri liniari?
- Cum transform metri cubi în metri pătrați?
- De ce un litru este egal cu un decimetru cub?
- Cum aflu câți litri încap într-o cutie din dimensiuni în centimetri?
- Cum calculez apa dintr-un recipient umplut doar parțial?
- De ce jumătate din înălțimea unui con nu înseamnă jumătate din volum?
- Cum disting diagonala feței de diagonala cubului?
- Cum aflu muchia cubului din diagonala lui spațială?
- De ce dublarea muchiei cubului mărește volumul de opt ori?
- Cum aflu raportul muchiilor din raportul volumelor unor corpuri asemenea?
- De ce aria totală a unei cutii fără capac nu este cea a paralelipipedului închis?
- Cum calculez aria laterală fără să includ bazele?
- Cum deosebesc apotema piramidei de înălțime?
- De ce muchia laterală a piramidei nu este apotema?
- Cum aflu generatoarea unui con din rază și înălțime?
- De ce volumul conului este o treime din volumul cilindrului comparabil?
- Cum calculez aria materialului pentru un cilindru fără capace?
- De ce două drepte care nu se intersectează nu sunt mereu paralele în spațiu?
- Este suficient ca o dreaptă să fie perpendiculară pe o dreaptă din plan ca să fie perpendiculară pe plan?
- Cum măsor unghiul dintre o dreaptă și un plan?
- De ce distanța de la un punct la un plan este cea perpendiculară?
- Cum calculez drumul minim pe două fețe alăturate ale unui cub?
- Cum verific unitățile într-o formulă geometrică necunoscută?
- De ce ordinea contează la aranjamente, dar nu la combinări?
- Cum număr codurile care pot începe cu zero?
- Cum număr numerele cu cifre distincte și fără zero la început?
- De ce la permutări cu litere repetate împart la factoriale?
- Cum număr așezările în care două persoane stau una lângă alta?
- De ce la o masă rotundă nu folosesc întotdeauna n!?
- Cum număr cazurile cu «cel puțin unul» mai simplu?
- De ce «exact două» și «cel puțin două» au probabilități diferite?
- Cum se schimbă probabilitatea când bila nu este pusă înapoi?
- De ce extragerea cu înlocuire poate produce probe independente?
- De ce evenimentele incompatibile nu sunt același lucru cu evenimentele independente?
- Cum calculez probabilitatea lui A sau B fără dublare?
- Pot folosi cazuri favorabile supra posibile pentru rezultate neechiprobabile?
- De ce după cinci capete nu este obligatoriu să urmeze pajură?
- Cum interpretez o probabilitate de 20% într-un experiment repetat?
- Cum aflu mediana unui număr par de valori?
- De ce mediana se calculează după ordonare?
- Poate un set de date să aibă două valori modale?
- Cum aflu o valoare lipsă când cunosc media?
- De ce mediile a două clase nu se adună și împart automat la doi?
- De ce viteza medie pe dus-întors nu este mereu media vitezelor?
- Cum poate un grafic cu bare să exagereze o diferență?
- De ce o medie identică nu înseamnă rezultate la fel de uniforme?
Clasa a VI-a
97
- De ce √((x-2)²) nu poate fi înlocuit mereu cu x-2?
- Cum simplific √((x-2)²)/(x-2)?
- De ce √(a+b) nu este în general √a+ √b?
- Pot despărți √ab dacă a și b sunt negative?
- De ce √8+ √18 se poate aduna, dar √2+ √3 nu se reduce la un singur termen asemenea?
- Cum verific dacă am scos tot ce se poate de sub un radical?
- De ce 2 √3 și √12 sunt același număr?
- Cum compar 3 √2 și 2 √5 fără aproximări?
- De ce compararea prin pătrate poate greși pentru numere negative?
- Cum raționalizez un numitor de forma √5-2?
- De ce raționalizarea nu schimbă valoarea fracției?
- Cum stabilesc domeniul lui 1/ √(x-3)?
- Cum stabilesc domeniul lui √((x-1)/(x+2))?
- Poate o ecuație cu radical să aibă o soluție falsă după ridicare la pătrat?
- De ce √x=-2 nu are soluții reale?
- De ce radicalul de ordin impar admite numere negative?
- Cum verific dacă √(9-4 √5) poate fi scris fără radical dublu?
- Cum calculez | √3-2| fără calculator?
- De ce |a+b| nu este mereu |a|+|b|?
- Cum rezolv |x-3|=5 fără să pierd o soluție?
- De ce |x-3|<5 dă un interval, nu două semidrepte?
- Cum aflu soluțiile lui |x-1|=|x+3|?
- De ce suma unui rațional și a unui irațional este irațională?
- Pot două numere iraționale să aibă sumă sau produs rațional?
- De ce pierd soluția zero dacă împart ecuația x²=3x la x?
- De ce trebuie înmulțiți toți termenii când elimin numitorii unei ecuații?
- Ce înseamnă dacă la finalul ecuației obțin 0=0?
- Ce înseamnă dacă la finalul ecuației obțin 0=5?
- Cum rezolv ax=b când parametrul a poate fi zero?
- De ce x²=9 are două soluții, dar √9 are o singură valoare?
- Cum aleg rădăcina corectă când ecuația modelează o lungime?
- Cum rezolv x²-5x+6=0 fără formula discriminantului?
- De ce Δ =0 nu înseamnă că ecuația nu are soluții?
- Cum folosesc relațiile lui Viète fără să calculez rădăcinile?
- De ce semnul inegalității se schimbă la împărțirea cu un număr negativ?
- Pot înmulți o inecuație cu x dacă nu știu semnul lui?
- Cum rezolv un produs mai mic decât zero fără să dezvolt?
- De ce punctele din numitor nu se includ nici la semnul ≥?
- De ce un factor la pătrat nu schimbă semnul la trecerea prin rădăcină?
- Cum rezolv o inecuație dublă de forma 2<3x+1≤ 10?
- Cum tratez condițiile «și» și «sau» la inecuații?
- De ce o soluție trebuie verificată în ambele ecuații ale unui sistem?
- Ce înseamnă dacă eliminarea dintr-un sistem dă 0=0?
- Ce înseamnă dacă două ecuații au stânga proporțională, dar dreapta nu?
- Când este utilă substituția t=x² într-o ecuație?
- De ce înmulțirea unei ecuații cu o expresie poate introduce soluții?
- Cum arăt că o ecuație nu are soluții prin semne?
- Cum recunosc o soluție străină din cauza domeniului?
- Cum justific că am găsit toate soluțiile unei ecuații?
- De ce segmentele de 2, 3 și 5 cm nu formează un triunghi?
- Cum găsesc valorile întregi posibile pentru a treia latură?
- Cum aflu unghiurile când unul exterior și unul interior sunt cunoscute?
- De ce nu pot considera un triunghi dreptunghic doar din desen?
- Cum aleg ipotenuza dacă triunghiul este rotit în desen?
- De ce la Pitagora uneori adun și alteori scad pătratele?
- Pot folosi Pitagora într-un triunghi oarecare trasând o înălțime?
- De ce înălțimea unui triunghi obtuz poate fi în exterior?
- Pot folosi o latură oblică drept înălțime la aria triunghiului?
- De ce triunghiuri cu aceeași bază și aceeași înălțime au aceeași arie?
- De ce mediana împarte triunghiul în două arii egale?
- Este bisectoarea întotdeauna și mediană?
- Cum disting mediana de mediatoarea unei laturi?
- De ce baricentrul nu este mijlocul medianei?
- Poate ortocentrul să fie în afara triunghiului?
- Unde este centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic?
- De ce unghiurile egale nu dovedesc congruența a două triunghiuri?
- De ce ordinea literelor contează când scriu triunghiuri asemenea?
- Cum aleg sensul raportului de asemănare?
- De ce raportul ariilor nu este raportul laturilor?
- Pot aplica teorema lui Thales fără paralelism?
- De ce linia mijlocie are jumătate din latura paralelă?
- Cum folosesc teorema bisectoarei când cunosc laturile și baza?
- Cum verific că rezultatul geometric este imposibil chiar dacă algebra pare corectă?
- Poate un pătrat să fie și dreptunghi?
- De ce diagonalele egale nu sunt suficiente ca să dovedesc un dreptunghi?
- De ce diagonalele perpendiculare nu dovedesc singure că un patrulater este romb?
- Cum demonstrez că un paralelogram este pătrat folosind diagonalele?
- De ce aria paralelogramului nu este produsul oricăror două laturi?
- Cum aflu înălțimea unui romb din diagonale și latură?
- De ce același perimetru poate da arii diferite?
- Care dreptunghi are aria maximă la perimetru dat?
- Este paralelogramul un trapez?
- Cum aflu o bază a trapezului din arie și înălțime?
- De ce dublarea razei unui cerc multiplică aria cu 4?
- Cum evit confuzia dintre raza și diametrul date în problemă?
- De ce lungimea cercului și aria discului au unități diferite?
- Cum calculez lungimea unui arc când unghiul este în grade?
- Pot folosi lungimea coardei în formula ariei sectorului circular?
- Cum deosebesc unghiul la centru de unghiul înscris?
- De ce un unghi înscris care subîntinde un diametru este drept?
- Când două coarde egale sunt la aceeași distanță de centru?
- De ce perpendiculara din centru pe o coardă o înjumătățește?
- Cum recunosc tangenta la cerc folosind o rază?
- De ce tangentele din același punct exterior au lungimi egale?
- Cum aflu lungimea tangentei din distanța până la centru?
- Cum verific dacă un patrulater convex poate fi înscris într-un cerc?
- Cum calculez aria unei coroane circulare?
Clasa a VII-a
24
- De ce 2x+3x=5x, dar 2x+3y nu devine 5xy?
- De ce x+x este 2x, iar x×x este x²?
- Cum desfac 3(x-2)-2(x+1) fără greșeli de semn?
- De ce (a+b)² conține termenul 2ab?
- De ce (a-b)² este egal cu (b-a)²?
- Pot simplifica (x+2)/(x+3) eliminând x?
- De ce (x²-1)/(x-1) rămâne nedefinit la x=1 după simplificare?
- Cum adun 1/x și 1/(x+1) fără să pierd domeniul?
- De ce împărțirea la o fracție algebrică adaugă restricții?
- Cum simplific (x²+2x)/x fără să includ zero?
- De ce (x²+1) nu se descompune ca (x+1)²?
- Cum observ că 9x²-12x+4 este un pătrat perfect?
- De ce x²+6x+5 se descompune cu 1 și 5?
- Cum scot factor comun când toate semnele sunt negative?
- De ce ordinea grupării poate decide dacă văd factorul comun?
- Cum verific rapid o identitate algebrică greșită?
- Cum calculez o expresie dacă știu x+1/x, fără să aflu x?
- Cum aflu a²+b² dacă știu suma și produsul numerelor?
- De ce adăugarea aceluiași număr sus și jos schimbă o fracție?
- Cum reduc o expresie algebrică la zero fără să aleg valori pentru x?
- De ce coeficientul lui x este -1 în expresia 3-x?
- Cum deosebesc gradul unui termen de gradul unei expresii?
- Poate gradul unui polinom să scadă pentru o anumită valoare a parametrului?
- Cum demonstrez că o expresie este pozitivă prin completarea pătratului?
Clasa a VIII-a
23
- De ce f(2) nu înseamnă f×2?
- Cum calculez f(x+1) fără să schimb doar un termen?
- De ce f(a+b) nu este întotdeauna f(a)+f(b)?
- Pot două valori diferite ale lui x să dea aceeași valoare a funcției?
- Cum citesc soluțiile lui f(x)>0 de pe grafic?
- De ce f⁻¹(x) nu înseamnă 1/f(x)?
- Cum determin domeniul unei funcții compuse?
- De ce f∘g și g∘f pot da rezultate diferite?
- Cum disting deplasarea graficului lui f(x-2) de cea a lui f(x)+2?
- Cum verific dacă trei puncte sunt coliniare fără împărțire la zero?
- De ce distanța dintre puncte nu este suma diferențelor coordonatelor?
- Cum aflu vârful parabolei prin completarea pătratului?
- De ce domeniul și imaginea unei funcții sunt mulțimi diferite?
- De ce la termenul al n-lea al unei progresii apar n-1 pași?
- Cum aflu rația din doi termeni care nu sunt vecini?
- Cum verific dacă trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice?
- De ce o progresie aritmetică cu rație negativă este descrescătoare?
- Cum aflu câți termeni are o sumă de numere cu pas constant?
- De ce formula sumei progresiei geometrice nu se folosește direct la q=1?
- Poate o progresie geometrică să alterneze semnele?
- De ce 1,2,4,8 este geometric, iar 1,2,3,4 aritmetic?
- Cum aflu dacă un număr apare într-o progresie aritmetică?
- De ce primele câteva valori nu determină unic regula unui șir?
Clasa a IX-a
49
- De ce logaritmul lui zero nu este un număr real?
- Poate un logaritm să fie negativ?
- De ce log(a+b) nu este log a+log b?
- Pot desface log(x²) ca 2log x pentru x negativ?
- Cum stabilesc domeniul lui log₂((x-1)(x+2))?
- Cum stabilesc domeniul lui log₍ₓ₋₁₎(x+2)?
- De ce log₂x= log₂3 implică x=3?
- Cum rezolv log₂(x-1)+ log₂(x-3)=3?
- De ce inecuațiile cu logaritmi își schimbă sensul pentru baza sub 1?
- Cum compar log₂3 și log₂5 fără calculator?
- De ce logₐb nu este egal în general cu log_ba?
- Cum schimb baza unui logaritm când calculatorul are doar ln?
- De ce e^(ln x)=x cere x>0, dar ln(e^(x))=x admite orice real?
- Cum rezolv 2^(x+1)=8^(x-1)?
- De ce 2^(x)=-4 nu are soluții reale?
- Cum folosesc substituția la 4^(x)-5× 2^(x)+4=0?
- De ce o rădăcină negativă pentru t=3^(x) se elimină?
- Cum rezolv (1/3)^(2x-1)≥ 9?
- Pot logaritma o inecuație fără să verific semnele?
- Cum interpretez scara logaritmică într-un grafic?
- De ce creșterea cu un procent fix este exponențială?
- Cum aflu după câți pași se dublează o valoare cu factor fix?
- De ce x^(1/2) este tratat diferit de x^(1/3) pentru x negativ?
- De ce nu aplic toate regulile puterilor fracționare la baze negative?
- De ce calculatorul nu arată 0,5 pentru sin 30?
- Cum transform gradele în radiani fără să inversez raportul?
- De ce sin x poate fi pozitiv când cos x este negativ?
- Cum aleg semnul lui cos x dacă știu sin x?
- De ce sin x=1/2 are mai multe soluții decât x=π /6?
- Cum aleg soluțiile trigonometrice dintr-un interval închis?
- De ce sin²x=1/4 nu este aceeași ecuație cu sin x=1/2?
- Pot împărți o ecuație trigonometrică la sin x?
- De ce tan 90° nu există?
- Cum disting sin²x de sin(x²)?
- De ce sin(a+b) nu este sin a+sin b?
- Cum găsesc perioada lui sin(3x)?
- De ce arcsin(sin x) nu este mereu x?
- Cum verific dacă o ecuație sin x=c poate avea soluții?
- Cum calculez un unghi când știu sinusul, dar triunghiul poate fi obtuz?
- De ce vectorul AB este B-A, nu A-B?
- Cum verific perpendicularitatea a doi vectori prin coordonate?
- De ce produsul scalar nu este un vector?
- Cum verific paralelismul vectorilor fără să împart coordonate zero?
- Cum calculez mijlocul unui segment când coordonatele sunt negative?
- De ce i²=-1, dar modulul lui i este 1?
- Cum simplific o putere mare a lui i?
- De ce la împărțirea numerelor complexe folosesc conjugatul numitorului?
- Când pot egala separat părțile reale și imaginare?
- De ce un număr complex nenul poate avea mai multe argumente?
Clasa a X-a
25
- De ce pot calcula AB, dar nu și BA pentru unele matrice?
- De ce înmulțirea matricelor nu se face element cu element?
- Pot AB și BA să fie definite, dar să aibă dimensiuni diferite?
- De ce AB=0 nu implică A=0 sau B=0?
- Pot simplifica A din AB=AC?
- De ce (A+B)² nu este mereu A²+2AB+B²?
- De ce inversa produsului AB este B⁻¹A⁻¹?
- Cum rezolv AX=B față de XA=B?
- De ce nu există determinant pentru o matrice dreptunghiulară?
- Pot aplica regula lui Sarrus la un determinant de ordin 4?
- Cum se schimbă determinantul dacă înmulțesc toată matricea cu 2?
- De ce schimbarea a două linii inversează semnul determinantului?
- Ce operație pe linii păstrează determinantul?
- De ce un determinant nul nu înseamnă matrice zero?
- Cum verific inversa unei matrice după calcul?
- Ce fac dacă determinantul sistemului este zero și Cramer nu se aplică?
- De ce un sistem omogen are întotdeauna o soluție?
- Cum citesc numărul parametrilor liberi din rangul unui sistem?
- De ce trebuie separat parametrul care anulează un pivot la Gauss?
- Cum aflu restul împărțirii unui polinom la x-a fără împărțire?
- De ce o rădăcină a polinomului produce un factor x-a?
- Cum verific dacă o rădăcină este dublă?
- De ce rădăcinile complexe nereale apar în perechi conjugate?
- Cum deosebesc polinomul nul de un polinom care are o rădăcină?
- De ce două polinoame egale pentru toate x au coeficienți egali?
Clasa a XI-a
25
- De ce forma 0/0 nu este răspunsul unei limite?
- De ce pot simplifica x-1 într-o limită la x=1?
- Cum disting limita unei funcții de valoarea ei în punct?
- De ce o limită bilaterală nu există dacă limitele laterale diferă?
- Cum tratez √x² când x tinde la minus infinit?
- De ce diferența a două expresii care tind la infinit poate avea limită finită?
- Cum aplic limita sin x/x fără să greșesc unitatea unghiului?
- Pot folosi L'Hôpital la orice raport care conține infinit?
- De ce un șir oscilant poate să nu aibă limită?
- Poate un șir să fie crescător și să aibă limită finită?
- Cum aleg parametrul pentru continuitatea unei funcții pe ramuri?
- De ce continuitatea nu garantează derivabilitatea?
- De ce derivata lui (3x+1)⁵ conține factorul 3?
- De ce derivata produsului nu este produsul derivatelor?
- Cum verific semnul din formula derivatei unui raport?
- De ce derivata lui ln(x²) este 2/x și pentru x negativ?
- Dacă f'(x₀)=0, punctul este obligatoriu extrem?
- Poate o funcție avea minim unde derivata nu există?
- De ce trebuie verificate capetele intervalului la maxim și minim?
- Cum citesc un maxim local din semnul derivatei?
- De ce f'≥ 0 permite creștere chiar dacă derivata este zero în unele puncte?
- Este f''(x₀)=0 suficient pentru un punct de inflexiune?
- Cum scriu tangenta când știu punctul și derivata?
- Poate un grafic să intersecteze o asimptotă orizontală?
- De ce un punct exclus din domeniu nu este automat asimptotă verticală?
Clasa a XII-a
24
- De ce la o integrală nedefinită trebuie adăugată constanta C?
- Cum verific o primitivă fără să refac integrarea?
- De ce ∫ 1/x dx este ln(abs x)+C, nu x⁰/0?
- De ce la ∫ (3x+1)⁴ dx apare împărțirea la 3?
- Cum aleg u și dv la integrarea prin părți?
- De ce la schimbarea de variabilă trebuie schimbate și limitele integralei?
- Cum tratez o substituție care inversează ordinea limitelor?
- De ce integrala definită poate fi negativă, dar aria nu?
- Cum aflu aria dacă graficul traversează axa Ox?
- Cum aflu aria dintre două grafice care se intersectează?
- De ce integrala unei funcții impare pe [-a,a] este zero?
- Cum derivez o integrală cu capăt superior x²?
- Cum aleg raza la volumul de rotație în jurul axei Ox?
- De ce suma Riemann include și lățimea intervalului mic?
- De ce o lege de compoziție trebuie să păstreze rezultatul în mulțime?
- Cum găsesc neutrul pentru x⋆y=x+y+2?
- De ce neutrul trebuie să fie independent de x?
- Cum calculez simetricul pentru o lege care nu este adunarea obișnuită?
- De ce comutativitatea nu garantează asociativitatea?
- Cum demonstrez asociativitatea printr-o transformare simplă?
- De ce un element nenul modulo 6 poate să nu aibă inversă?
- Pot simplifica factorul 2 într-o congruență modulo 6?
- De ce elementele nenule din ℤ nu formează grup la înmulțire?
- Cum verific dacă o mulțime finită este subgrup fără toate axiomele de la zero?
