Matematică clasa a XII-a

Matematică pentru clasa a XII-a — „clasa 12” sau „a 12-a”, cum o scrii mai des: toată materia anului, pe capitole, cu lecții, teste cu barem și formule.

Actualizat: 5 septembrie 2026.

Clasa a XII-a e ultimul an de materie nouă și, în același timp, anul de Bacalaureat: structurile algebrice — legi de compoziție, grupuri, inele, corpuri, polinoame — și analiza matematică — asimptote, conice, primitive, integrala definită. Pe pagina asta ai toată materia anului, pe capitole, în ordinea în care se predă, plus tot ce intră la proba de matematică M1 (mate-info) și cele 91 de subiecte oficiale date între 2010 și 2026, rezolvate pas cu pas. Totul e gratuit și nu îți trebuie cont.

Bacalaureat M1: calendarul 2027, cu datele propuse · ce intră în 2027 · toate cele 91 de subiecte oficiale, rezolvate · baremele oficiale, cu defectele găsite · simulare M1, varianta 1 · formulele clasei · calculator de medie

Calendarul sesiunii 2027 este aprobat prin ordin de ministru: OMEC nr. 5.211 din 27 august 2026, publicat în Monitorul Oficial al României, Partea I, nr. 758 din 7 septembrie 2026. Proba obligatorie a profilului — matematica, pentru profilul real — se dă pe 15 iunie 2027, iar simularea pe 23 martie 2027. Toate datele sunt în calendarul bacalaureatului 2027. Materia și structura probei, în schimb, nu depind de calendar și sunt descrise mai jos, cu ce intră la bac la matematică M1 pe capitole.

Cum înveți aici — traseul recomandat

1. Dă testul inițial de clasa a XII-a ca să vezi ce ți-a rămas din clasele a IX-a – a XI-a. La Subiectul I al probei M1 cerințele vin chiar din anii aceia, nu din materia de clasa a XII-a.
2. Parcurge capitolele noi din lista de mai jos — structurile algebrice și integralele sunt materie nouă și nu se pot sări.
3. Rezolvă subiecte oficiale, în ordine inversă a anilor. Începe cu 2026 și coboară; fiecare probă are baremul oficial și rezolvarea pas cu pas, deci te poți corecta singur.
4. Verifică-te cu testele de capitol și cu cele patru simulări M1 de mai jos, cronometrat, ca la examen.

Ce e nou față de clasa a XI-a

Clasa a XII-a adaugă un capitol de algebră abstractă și continuă analiza matematică începută anul trecut, ducând-o până la integrale.

Ce intră la Bacalaureatul M1, pe subiecte

Proba de matematică M1 (mate-info) are trei subiecte. Materia lor nu se suprapune cu un singur an de studiu, iar asta e prima greșeală de planificare a pregătirii.

Cum se punctează fiecare cerință și ce se depunctează la redactare e în Redactarea la Bacalaureat M1, iar structura completă a probei în Examenul de Bacalaureat M1: structura subiectelor, baremul și strategia de lucru.

Capitolele anului

1. Legi de compoziție

• Legea de compoziție: definiție, exemple și contraexemple
• Tabla unei legi de compoziție pe o mulțime finită
• Parte stabilă și legea de compoziție indusă
• Legi de compoziție pe mulțimi de numere, definite prin formule
• Legi de compoziție pe mulțimea părților: reuniunea, intersecția, diferența simetrică
• Legi de compoziție pe mulțimi de matrice și pe mulțimi de funcții
• Asociativitatea unei legi de compoziție
• Comutativitatea unei legi de compoziție; simetria tablei
• Elementul neutru al unei legi de compoziție
• Elemente simetrizabile și simetricul unui element
• Semigrupuri și monoizi; reguli de calcul și puteri
• Mulțimea claselor de resturi modulo n; adunarea claselor
• Înmulțirea claselor de resturi modulo n; distributivitatea
• Elementele inversabile din mulțimea claselor de resturi; ecuații cu clase de resturi
• Legi de compoziție cu parametri: determinarea parametrilor din proprietăți

Tot capitolul, cu formulele, exercițiile rezolvate și testele lui: legi de compoziție, clasa a XII-a.

2. Grupuri

• Grupul: definiție și exemple din mulțimile de numere
• Grupuri de matrice și grupuri de permutări
• Grupuri de funcții; grupul lui Klein
• Grupul aditiv și grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo n
• Grupul rădăcinilor de ordinul n ale unității
• Grupuri de transformări geometrice: translațiile și rotațiile cu același centru
• Reguli de calcul într-un grup; ecuații într-un grup
• Puterile unui element și calcule în grupuri finite
• Subgrupul: definiție, criteriu și exemple
• Subgrupurile grupului aditiv al numerelor întregi și ale grupului multiplicativ al numerelor complexe nenule
• Ordinul unui element al unui grup
• Grupuri finite; teorema lui Lagrange
• Subgrupul generat de un element; grupuri ciclice
• Morfisme de grupuri
• Izomorfisme de grupuri; compararea tablelor grupurilor finite
• Când două grupuri nu sunt izomorfe: ordine, comutativitate, cardinal
• Izomorfisme remarcabile: numerele întregi și translațiile, clasele de resturi și rotațiile
• Transferul de structură prin izomorfism; ecuații matriceale rezolvate cu numere complexe
• Clasele de resturi în aritmetică: divizibilitate și ecuații în numere întregi
• Sinteză: legi de compoziție și grupuri — probleme de tip Bacalaureat M1

Tot capitolul, cu formulele, exercițiile rezolvate și testele lui: grupuri, clasa a XII-a.

3. Inele, corpuri și polinoame

• Inelul: definiție, axiome și exemple
• Reguli de calcul într-un inel; divizori ai lui zero; inele integre
• Elementele inversabile ale unui inel; grupul unităților
• Corpul: definiție și exemple; corpul claselor de resturi modulo un număr prim
• Morfisme și izomorfisme de inele și corpuri; transportul de structură
• Inele de matrice cu structură remarcabilă; izomorfisme cu numere complexe
• Inelul polinoamelor cu coeficienți într-un corp comutativ
• Împărțirea polinoamelor peste un corp; teorema restului și teorema lui Bézout
• Funcția polinomială și rădăcinile polinoamelor cu coeficienți clase de resturi
• Divizibilitatea polinoamelor: cel mai mare divizor comun și algoritmul lui Euclid
• Rădăcini multiple și derivata formală a unui polinom
• Polinoame ireductibile; descompunerea în factori ireductibili peste diferite corpuri
• Polinoame în probleme de Bacalaureat M1: parametri, resturi, divizibilitate, rădăcini comune
• Recapitulare: inele și corpuri cu structuri ascunse — probleme de tip Bacalaureat M1
• Sinteză: polinoame peste un corp — probleme de tip Bacalaureat M1

Tot capitolul, cu formulele, exercițiile rezolvate și testele lui: inele, corpuri și polinoame, clasa a XII-a.

4. Asimptote și reprezentarea grafică a funcțiilor

• Comportarea graficului la infinit și lângă punctele excluse: ce este o asimptotă
• Asimptota orizontală
• Asimptota oblică
• Asimptota verticală
• Asimptotele funcțiilor uzuale: raționale, cu radicali, exponențiale, logaritmice
• Reprezentarea grafică a funcțiilor: schema completă a studiului
• Graficul funcțiilor polinomiale
• Graficul funcțiilor raționale
• Graficul funcțiilor cu radicali
• Graficul funcțiilor exponențiale și logaritmice
• Graficul funcțiilor trigonometrice, al funcțiilor cu modul și al funcțiilor pe ramuri
• Rezolvarea grafică a ecuației f(x) = m; numărul soluțiilor în funcție de parametru
• Rezolvarea grafică a ecuației f(x) = g(x); comparația cu șirul lui Rolle
• Grafice din fizică și verificarea cu instrumente digitale
• Sinteză: studiul complet al unei funcții — probleme de tip Bacalaureat M1

Tot capitolul, cu formulele, exercițiile rezolvate și testele lui: asimptote și grafice, clasa a XII-a.

5. Conice

• Conicele: secțiuni ale conului și exemple din lumea reală
• Cercul: definiția geometrică și ecuația canonică
• Ecuația generală a cercului; cercul determinat de condiții
• Cercul și dreapta: poziții relative, tangenta la cerc
• Elipsa: definiția geometrică și deducerea ecuației canonice
• Elementele elipsei și reprezentarea ei grafică
• Hiperbola: definiția geometrică și deducerea ecuației canonice
• Elementele hiperbolei: focare, vârfuri, asimptote; reprezentarea grafică
• Hiperbola echilateră raportată la asimptote
• Parabola: definiția geometrică și deducerea ecuației canonice
• Elementele parabolei și reprezentarea ei grafică
• Recunoașterea unei conice din ecuație sau din grafic; conicele ca reuniuni de grafice de funcții
• Intersecția unei conice cu o dreaptă
• Tangenta într-un punct al unei conice: metoda dedublării
• Intersecția a două conice
• Determinarea conicelor din condiții date
• Conicele și analiza matematică: tangente cu derivata și pregătirea calculului de arii
• Sinteză: conice — probleme de tip Bacalaureat M1

Tot capitolul, cu formulele, exercițiile rezolvate și testele lui: conice, clasa a XII-a.

6. Primitive

• Problema inversă derivării: noțiunea de primitivă
• Integrala nedefinită: definiție, notație și proprietăți
• Tabelul primitivelor funcțiilor uzuale
• Primitive cu arctangentă, arcsinus și logaritm: completarea tabelului
• Funcții care admit primitive: teorema lui Darboux și funcțiile continue
• Primitivele funcțiilor definite pe ramuri
• Integrarea prin părți: formula și primele aplicații
• Integrarea prin părți: alegerea părților și aplicarea repetată
• Schimbarea de variabilă: formula și justificarea ei
• Schimbarea de variabilă: recunoașterea derivatei și substituțiile tipice
• Primitive cu trinom de gradul al doilea
• Primitivele funcțiilor raționale: descompunerea în fracții simple
• Primitivele funcțiilor raționale: rădăcini multiple și factori de gradul al doilea
• Primitivele funcțiilor trigonometrice
• Primitivele funcțiilor cu radicali și cu exponențiale
• Relații de recurență pentru integrale nedefinite
• Proprietățile unei primitive deduse din funcție: monotonie, extreme, convexitate
• Primitiva care îndeplinește o condiție; modelări cu primitive
• Cum alegi metoda de integrare
• Metode de integrare combinate
• Sinteză: primitive — probleme de tip Bacalaureat M1

Tot capitolul, cu formulele, exercițiile rezolvate și testele lui: primitive, clasa a XII-a.

7. Integrala definită

• Problema ariei: subgraficul unei funcții și aproximarea lui prin dreptunghiuri
• Diviziuni ale unui interval; norma unei diviziuni; puncte intermediare
• Sume Riemann și interpretarea lor geometrică
• Funcții integrabile și integrala definită
• Clase de funcții integrabile: funcții continue, funcții monotone; mărginirea
• Integrabilitate și primitive: exemple și contraexemple
• Formula Leibniz–Newton
• Proprietățile integralei definite
• Integrala funcțiilor pe ramuri și a funcțiilor cu modul
• Teorema de medie și interpretarea ei geometrică
• Încadrarea și compararea integralelor; inegalități cu integrale
• Teorema de existență a primitivelor unei funcții continue; funcția integrală
• Aplicații ale funcției integrale: limite, monotonie, extreme
• Integrarea prin părți pentru integrala definită
• Schimbarea de variabilă pentru integrala definită
• Integrale definite din funcții raționale și reductibile la raționale
• Șiruri de integrale: recurențe și limite
• Calculul limitelor unor șiruri cu sume Riemann
• Integrale ale funcțiilor pare, impare și periodice
• Sinteză: integrala definită — probleme de tip Bacalaureat M1

Tot capitolul, cu formulele, exercițiile rezolvate și testele lui: integrala definită, clasa a XII-a.

8. Aplicații ale integralei definite

• Aria subgraficului unei funcții continue
• Aria suprafeței cuprinse între graficele a două funcții
• Arii delimitate de grafice, axe și drepte verticale: cazuri cu schimbare de semn
• Aria discului și aria interiorului unei elipse
• Arii delimitate de parabole, hiperbole și drepte
• Arii delimitate de două conice
• Volumul corpului de rotație
• Volumele cilindrului, conului, trunchiului de con și sferei, deduse cu integrala
• Volume de rotație în probleme
• Centrul de greutate al unei plăci plane omogene
• Modelări din fizică: lucrul mecanic al unei forțe variabile
• Modelări din fizică: debit, volum de lichid și energie consumată
• Estimarea numerică a integralelor și verificarea cu instrumente digitale
• Sinteză: aplicații ale integralei — probleme de tip Bacalaureat M1

Tot capitolul, cu formulele, exercițiile rezolvate și testele lui: aplicații ale integralei, clasa a XII-a.

9. Pregătire pentru Bacalaureat M1

• Examenul de Bacalaureat M1: structura subiectelor, baremul și strategia de lucru
• Subiectul I: numere reale, radicali, logaritmi, ecuații și inecuații
• Subiectul I: progresii, funcția de gradul întâi și funcția de gradul al doilea
• Subiectul I: combinatorică și probabilități
• Subiectul I: geometrie analitică și trigonometrie
• Subiectul I: numere complexe, exponențiale și logaritmi
• Subiectul al II-lea: matrice și determinanți
• Subiectul al II-lea: sisteme de ecuații liniare și matrice inversabile
• Subiectul al II-lea: legi de compoziție și grupuri
• Subiectul al II-lea: inele, corpuri și polinoame
• Subiectul al III-lea: limite, continuitate și asimptote
• Subiectul al III-lea: derivate, monotonie, extreme și inegalități
• Subiectul al III-lea: studiul funcțiilor, șirul lui Rolle și reprezentarea grafică
• Subiectul al III-lea: primitive și metode de integrare
• Subiectul al III-lea: integrala definită și teorema de medie
• Subiectul al III-lea: șiruri de integrale și limite cu sume Riemann
• Subiectul al III-lea: arii și volume
• Redactarea la Bacalaureat M1: ipoteze, justificări, cazuri și ce se depunctează
• O variantă de Bacalaureat M1 rezolvată și comentată (I)
• O variantă de Bacalaureat M1 rezolvată și comentată (II)
• Formularul clasei a XII-a: rezultatele și formulele esențiale
• Sinteză finală clasa a XII-a: probleme de tip Bacalaureat M1

Subiectele oficiale de Bacalaureat M1, din 2010 până azi

Toate cele 91 de probe oficiale de M1 (mate-info) date între 2010 și 2026 — modele, simulări naționale, sesiuni speciale, sesiunile din iunie-iulie și din august-septembrie, cu variantele de rezervă publicate — sunt transcrise ca text, rezolvate pas cu pas, cu baremul oficial pe punctaje și cu ghidaj la fiecare cerință:

• Subiecte de Bacalaureat M1, 2010–2026, rezolvate — banca întreagă, cu tabelul anilor și al sesiunilor.
• Anii cei mai căutați: 2026 · 2025 · 2024 · 2023 · 2022.
• Ce am găsit în baremele oficiale — greșelile de tipar din documentele oficiale, cu dovada, și cum le-am tratat în transcriere.

Teste

Verifică-te după fiecare capitol. Testele au barem și rezolvări.

• Evaluare sumativă — semestrul 1, clasa a XII-a
• Evaluare sumativă — semestrul 2, clasa a XII-a
• Simulare Bacalaureat M1 — varianta 1
• Simulare Bacalaureat M1 — varianta 2
• Simulare Bacalaureat M1 — varianta 3
• Simulare Bacalaureat M1 — varianta 4
• Test: arii delimitate de conice
• Test: arii delimitate de grafice
• Test: asimptotele funcțiilor
• Test: centrul de greutate și modelări din fizică
• Test: cercul în planul cartezian
• Test: clasele de resturi modulo n
• Test: conice, drepte și tangente
• Test: corpuri și morfisme de inele
• Test: elipsa
• Test: existența primitivelor și funcții pe ramuri
• Test: formula Leibniz–Newton și proprietățile integralei
• Test: grupuri — exemple remarcabile
• Test: hiperbola și parabola
• Test: inele și reguli de calcul

și încă 25 — toate testele

Exerciții rezolvate

• Exerciții rezolvate — Aplicații ale integralei definite
• Exerciții rezolvate — Asimptote și reprezentarea grafică a funcțiilor
• Exerciții rezolvate — Conice
• Exerciții rezolvate — Grupuri
• Exerciții rezolvate — Inele, corpuri și polinoame
• Exerciții rezolvate — Integrala definită
• Exerciții rezolvate — Legi de compoziție
• Exerciții rezolvate — Pregătire pentru Bacalaureat M1
• Exerciții rezolvate — Primitive

Formule, glosar și unelte

Când îți trebuie doar formula, fără lecția întreagă: legi de compoziție și clase de resturi · grupuri · inele, corpuri și polinoame · asimptote și reprezentarea grafică · conice · primitive și integrala nedefinită · integrala definită · aplicații ale integralei definite. Fiecare formulă are legenda literelor și un exemplu numeric rezolvat — exact ce se caută în ultima săptămână dinaintea Bacalaureatului.

Dacă te împiedici de un cuvânt din enunț, caută-l în glosar.

Pentru părinți

La clasa a XII-a se învață legile de compoziție, grupurile, inelele, corpurile și polinoamele, conicele, asimptotele și reprezentarea grafică a funcțiilor, primitivele și integrala definită cu aplicațiile ei. Dacă cel mic se blochează la un exercițiu, e adesea mai util să reluați lecția de bază decât să insistați pe problema în sine — lipsa e aproape mereu cu un pas în urmă. Toate materialele de aici sunt gratuite și nu cer cont.

Întrebări frecvente

Ce se învață la matematică în clasa a XII-a? Opt capitole de materie nouă — legi de compoziție, grupuri, inele, corpuri și polinoame, asimptote și reprezentarea grafică a funcțiilor, conice, primitive, integrala definită și aplicațiile ei — plus un al nouălea capitol de pregătire pentru Bacalaureatul M1. Lista pe lecții e mai sus.

Ce intră la Bacalaureat la matematică M1? Materia probei nu e doar cea de clasa a XII-a: Subiectul I vine în cea mai mare parte din clasele a IX-a – a XI-a, Subiectul al II-lea din algebra claselor a XI-a și a XII-a, iar Subiectul al III-lea din analiza matematică a acelorași doi ani. Tabelul pe subiecte e mai sus, iar dovada e în cele 91 de probe oficiale din banca de subiecte.

Câte subiecte oficiale de Bacalaureat M1 sunt aici și de unde vin? 91, date între 2010 și 2026: modele, simulări naționale, sesiuni speciale, sesiunile din iunie-iulie și cele din august-septembrie, cu variantele de rezervă publicate. Enunțurile și baremele sunt documentele publice de pe subiecte.edu.ro ale Centrului Național de Politici și Evaluare în Educație; rezolvările pas cu pas și ghidajele sunt ale noastre.

Când e Bacalaureatul din 2027? Calendarul e aprobat prin OMEC nr. 5.211/27.08.2026, publicat în Monitorul Oficial al României, Partea I, nr. 758/7.IX.2026. Proba obligatorie a profilului — matematica, la profilul real — se dă pe 15 iunie 2027; simularea, pe 23 martie 2027. Toate datele, cu sesiunea a doua și competențele, sunt în calendarul bacalaureatului 2027. Materia: ce intră la bac la matematică M1, pe capitole.

Cum se calculează o integrală definită simplă? Cu formula Leibniz–Newton: se găsește o primitivă și se calculează diferența valorilor ei în capete. De exemplu, ${\int }_0^1(x^2+1)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right){|}_0^1=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$. Metodele, una câte una, sunt în Subiectul al III-lea: integrala definită și teorema de medie.

Cât ar trebui să exerseze pe zi un elev de clasa a XII-a? 45–60 de minute în zilele de școală, plus o probă oficială completă în weekend, cronometrată și autocorectată pe barem, e un ritm care se ține din septembrie până în vară fără epuizare. Contează mai mult regularitatea decât maratoanele din mai, iar probele se iau în ordine inversă a anilor, începând cu 2026.

De unde știu, ca părinte, că pregătirea merge? Din punctajele pe probe oficiale, nu din ore petrecute la birou. Fiecare dintre cele 91 de probe are baremul oficial alături, deci punctajul e verificabil de oricine. Două probe la două săptămâni distanță, cu punctajele notate, spun mai mult decât orice altă măsurătoare.

Costă ceva pregătirea de clasa a XII-a de aici? Nu. Lecțiile, testele cu barem și exercițiile rezolvate de clasa a XII-a sunt gratuite acum, integral. Fără reclame, fără plăți în aplicație, fără date de card.

Începe de la ce nu știi

Radarul de nivel îți dă harta golurilor în zece minute, fără cont: pornește radarul. Dacă vrei să intri direct în examen, ia o probă oficială din banca de subiecte de Bacalaureat M1 sau testul inițial de clasa a XII-a.

Aceleași lecții, în aplicație. Gratuit acum, integral. Fără reclame, fără plăți în aplicație, fără date de card. Clasa a XII-a e și în aplicația pentru iPhone și iPad, și în cea pentru Android — aceeași materie în toate trei.