Proprietățile determinanților (1–4): formulă

Formulă din tema Determinanți și matrice inversabile, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, iar $B_1,\dots ,B_n$ sunt liniile matricei. P1 este proprietatea-cheie: tot ce se spune despre linii rămâne valabil pentru coloane. P3, citită invers, este scoaterea factorului comun dintr-o linie — factorul se scoate dintr-o singură linie o singură dată. P4 este liniaritatea pe o linie: se descompune o singură linie, celelalte rămânând identice. Capcana numărul unu: $\det (A+B)\ne \det A+\det B$, pentru că la $A+B$ se schimbă toate liniile deodată. A doua capcană: $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A$, nu $\alpha \det A$.

Exemplu: $\left|\begin{array}{cc}4& 6\\ 1& 5\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 5\end{array}\right|=2\cdot 7=14$ — factorul $2$ scos din prima linie (P3). • $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right|=0$ prin P2. • $\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=2$, dar $\det (I_2+I_2)=\det (2I_2)=4$.