Polinoame ireductibile: formulă

Formulă din tema Inele, corpuri și polinoame, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$f$ cu $\mathrm{grad}f\ge 1$ e ireductibil peste $K$ dacă nu se scrie ca produs de două polinoame din $K[X]$ de grad cel puțin $1$. Peste $\mathbb{Q}$ și peste ${\mathbb{Z}}_p$ există ireductibile de orice grad. Criteriul de lucru: un polinom de gradul $2$ sau $3$ este reductibil peste $K$ exact atunci când are o rădăcină în $K$. ⚠️ La gradul $4$ criteriul NU se mai aplică: un polinom fără rădăcini se poate descompune în doi factori de gradul al doilea.

Exemplu: $X^4+1=(X^2+1{)}^2-2X^2=\left(X^2-\sqrt{2}X+1\right)\left(X^2+\sqrt{2}X+1\right)$ e reductibil peste $\mathbb{R}$, deși nu are nicio rădăcină reală.