Derivarea integralei cu capete variabile: formulă

Formulă din tema Integrala definită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Se obține din regula de derivare a funcțiilor compuse aplicată lui $F\circ v$ și $F\circ u$, după ce integrala se rupe într-un punct fix cu aditivitatea. Cazul cu un singur capăt variabil este $({\int }_a^{u(x)}f{)}^{\prime }=f(u(x))u^{\prime }(x)$. ⚠️ Se verifică de fiecare dată că valorile $u(x)$ și $v(x)$ rămân în intervalul pe care $f$ e continuă — altfel formula nu se aplică. Semnul minus de la capătul de jos se uită des.

Exemplu: $H(x)={\int }_1^{x^2}\ln tdt$ pentru $x>0$: $H^{\prime }(x)=\ln \left(x^2\right)\cdot 2x=4x\ln x$. • ${\left({\int }_x^{x^2}{e}^{t}dt\right)}^{\prime }=2x{e}^{x^2}-e^x$.