Limite de șiruri cu sume Riemann: formulă

Formulă din tema Integrala definită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Rețeta, în trei mișcări: se scrie termenul general sub forma $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ (factorul $\frac{1}{n}$ trebuie scos explicit), se recunoaște funcția $f$ și diviziunea echidistantă a lui $[0,1]$ cu ${\xi }_k=\frac{k}{n}$, apoi se invocă integrabilitatea funcției continue. ⚠️ Fără propoziția de justificare, exercițiul e incomplet la Bacalaureat M1. Când suma nu se poate aduce la această formă, limita nu e de tip Riemann.

Exemplu: $\underset{n\to \infty }{\lim }{\sum }_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}=\lim \frac{1}{n}\sum \frac{1}{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}={\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi }{4}$.