Adunarea și înmulțirea claselor de resturi: formulă

Formulă din tema Legi de compoziție și clase de resturi, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Ambele operații sunt bine definite: rezultatul nu depinde de reprezentanții aleși (dacă $\hat{a}=\widehat{a_1}$ și $\hat{b}=\widehat{b_1}$, atunci $\widehat{a+b}=\widehat{a_1+b_1}$ și $\widehat{ab}=\widehat{a_1{b}_1}$) — se demonstrează, nu se presupune. $({\mathbb{Z}}_n,+)$ este grup comutativ cu neutrul $\hat{0}$ și cu $-\hat{a}=\widehat{n-a}$; $({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ este doar monoid comutativ, cu unitatea $\hat{1}$. În practică se calculează cu reprezentanții cei mai mici și se reduce la final.

Exemplu: În ${\mathbb{Z}}_7$: $\hat{5}+\hat{4}=\hat{9}=\hat{2}$ și $\hat{5}\cdot \hat{4}=\widehat{20}=\hat{6}$. • În ${\mathbb{Z}}_{12}$: $-\hat{5}=\hat{7}$.