Familia de legi cu parametri: formulă

Formulă din tema Legi de compoziție și clase de resturi, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$a\ne 0$; este familia din care provin aproape toate legile cu parametru de la Bacalaureat M1. Cheia calculului este identitatea $a(x\ast y)+b=(ax+b)(ay+b)$, valabilă exact când $ac+b=b^2$: ea transformă legea într-o înmulțire deghizată și dă imediat asociativitatea, neutrul și simetricul. Elementul neutru $e=\frac{1-b}{a}$ se obține punând $ax+b$ în locul lui $x$; simetricul lui $x$ există când $ax+b\ne 0$.

Exemplu: $x\ast y=2xy+2(x+y)+1$: $a=2$, $b=2$, $c=1$, iar $ac+b=4=b^2$ ✓, deci legea e asociativă, cu $e=\frac{1-2}{2}=-\frac{1}{2}$ (verificare: $x\ast \left(-\frac{1}{2}\right)=-x+2x-1+1=x$ ✓).