Limita unei funcții raționale la infinit: formulă

Formulă din tema Limite de funcții și continuitate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$p$ și $q$ sunt gradele celor două polinoame, iar $a_p\ne 0$, $b_q\ne 0$ coeficienții dominanți. Este rețeta pentru nedeterminarea $\frac{\infty }{\infty }$: se dă factor comun forțat $x^q$ și se folosește $\frac{1}{x^k}\to 0$. În cazul $p>q$ semnul rezultatului se stabilește din semnul lui $\frac{a_p}{b_q}$ și din paritatea lui $p-q$, când $x\to -\infty$. Legătura cu graficul: $p=q$ dă o asimptotă orizontală $y=\frac{a_p}{b_q}$, iar $p<q$ dă asimptota $y=0$. Atenție la radicali: $\sqrt{x^2}=|x|$, deci la $x\to -\infty$ se scoate $-x$ de sub radical, nu $x$ — aici se pierd cele mai multe puncte.

Exemplu: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2-x}{5x^2+7}=\frac{3}{5}$. • $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{|x|\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}{x}=-2$.