Operații cu șiruri convergente: formulă

Formulă din tema Limite de șiruri, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$\lim a_n={\ell }_1$ și $\lim b_n={\ell }_2$, ambele finite; toate limitele sunt pentru $n\to \infty$. Pe scurt: limita trece prin operațiile obișnuite. Regulile rămân valabile și pentru limite infinite, atât timp cât rezultatul este o operație permisă în $\overline{\mathbb{R}}$ (de exemplu $a+(+\infty )=+\infty$, $\frac{a}{\pm \infty }=0$). Când operația nu este permisă, se ajunge la o nedeterminare și se prelucrează expresia. Capcană frecventă: existența limitei sumei nu garantează existența limitelor termenilor — $a_n=(-1{)}^n$ și $b_n=(-1{)}^{n+1}$ au suma constant $0$, deși niciunul nu are limită.

Exemplu: $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(3+\frac{2}{n}\right)\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=3\cdot 1=3$. • $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{n}}{5-\frac{3}{n}}=\frac{2}{5}$.