Integrala nedefinită și liniaritatea: formulă

Formulă din tema Primitive și integrala nedefinită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$\mathcal{C}$ este mulțimea funcțiilor constante pe intervalul $I$, deci $F(x)+\mathcal{C}$ înseamnă $\{F+c\mid c\in \mathbb{R}\}$ — integrala nedefinită nu e o funcție, ci o familie de funcții. Se scrie $\mathcal{C}$, nu $C$ și nu „const”. Liniaritatea se demonstrează prin derivare și cere $\alpha \ne 0$ la omogenitate (altfel mulțimile din cei doi membri nu coincid). ⚠️ Nu există regulă pentru produs sau cât: $\int fg\ne \int f\cdot \int g$.

Exemplu: $\int \left(3x^2-2\sin x\right)dx=x^3+2\cos x+\mathcal{C}$; verificare prin derivare: ${\left(x^3+2\cos x\right)}^{\prime }=3x^2-2\sin x$ ✓.