Regula lui Cramer: formulă

Formulă din tema Sisteme de ecuații liniare, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Se aplică numai sistemelor de tip Cramer: $n$ ecuații, $n$ necunoscute și $\Delta =\det A\ne 0$. ${\Delta }_k$ se obține din $\Delta$ înlocuind coloana $k$ (cea a necunoscutei $x_k$) cu coloana termenilor liberi; celelalte coloane rămân neatinse. Un astfel de sistem este întotdeauna compatibil determinat, iar soluția dată de formulă este unica lui soluție. Capcane: se calculează întâi $\Delta$ și abia dacă este nenul se merge mai departe; dacă $\Delta =0$, regula nu se aplică și se trece la rang, Kronecker-Capelli și Rouché. Verificarea prin înlocuire în ecuația a doua costă zece secunde și prinde orice greșeală de semn.

Exemplu: Pentru $\{\begin{array}{l}4x-y=11\\ 3x+2y=11\end{array}$: $\Delta =\left|\begin{array}{cc}4& -1\\ 3& 2\end{array}\right|=11\ne 0$, ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}11& -1\\ 11& 2\end{array}\right|=33$, ${\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}4& 11\\ 3& 11\end{array}\right|=11$, deci $x=\frac{33}{11}=3$ și $y=\frac{11}{11}=1$. Probă: $3\cdot 3+2\cdot 1=11$ ✓.