Optimizare: costul mediu și profitul maxim

Formulă din tema Studiul variației funcțiilor, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$C(q)$ este costul total al producerii a $q$ bucăți, $\overline{C}(q)$ costul mediu (lei pe bucată), $C^{\prime }(q)$ costul marginal, iar $V(q)$ venitul; profitul este $P(q)=V(q)-C(q)$. Regula costului mediu: în punctul de cost mediu minim, costul marginal egalează costul mediu — se obține anulând derivata lui $\frac{C(q)}{q}$. Regula profitului: profitul este maxim acolo unde venitul marginal egalează costul marginal, adică $P^{\prime }(q_0)=0$. Bara de deasupra din $\overline{C}$ înseamnă «mediu» (ca la media $\overline{x}$ din statistică); analog, $\overline{Q}(n)$ este productivitatea medie. În tabelul de variație, rândurile se etichetează cu funcția concretă din problemă: ${\overline{C}}^{\prime }(q)$ sau $V^{\prime }(q)$ în loc de $f^{\prime }(x)$. Se verifică întotdeauna că soluția găsită este în domeniul economic ($q>0$).

Exemplu: Pentru $C(q)=2q^2+8q+200$: $\overline{C}(q)=2q+8+\frac{200}{q}$, cu ${\overline{C}}^{\prime }(q)=\frac{2(q-10)(q+10)}{q^2}$, deci minim în $q=10$, unde $\overline{C}(10)=48$ lei pe bucată. Verificare: $C^{\prime }(q)=4q+8$, iar $C^{\prime }(10)=48=\overline{C}(10)$ ✓ — exact regula costului mediu.