De ce se ridică la pătrat abaterile $$x_i-\bar{x}$$ înainte de a le face media, în loc să se folosească direct media abaterilor?

Pentru că suma abaterilor simple este întotdeauna $$0$$, deci media lor nu ar măsura nimic.

Pentru că pătratele se calculează mai ușor decât diferențele.

Pentru că altfel rezultatul ar fi negativ.

Un cercetător măsoară o caracteristică la TOȚI cei $$30$$ de elevi ai unei clase (populația completă, nu un eșantion). Ce formulă folosește pentru abaterea standard?

$$\sigma$$, cu împărțire la $$n$$.

$$s$$, cu împărțire la $$n-1$$.

Oricare dintre ele, rezultatul e identic.

Niciuna — abaterea standard cere obligatoriu un eșantion.

Care este formula abaterii standard?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Abaterea standard: σ pentru populație, s pentru eșantion

Pentru o populație, abaterea standard este $σ = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}$ , iar pentru un eșantion se împarte la $n - 1$ și se notează $s$ . Calculezi media, scazi din fiecare dată media, ridici diferențele la pătrat, faci media pătratelor și extragi radicalul. Pentru $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$ media este $5$ , suma pătratelor abaterilor $32$ , deci $σ = 4 = 2$ . Radicalul readuce rezultatul la unitatea de măsură a datelor.

Abaterea standard măsoară cât de departe stau, în medie, valorile unui set față de media lor — folosind, spre deosebire de amplitudine sau $IQR$ , toate datele deodată. Suma abaterilor simple $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ este mereu $0$ , deci nu poate măsura nimic; de aceea le ridicăm la pătrat, facem media pătratelor și, la final, extragem rădăcina pătrată, ca rezultatul să revină la unitatea inițială a datelor.

Există două formule, cu simboluri diferite. Pentru o populație (setul de date este chiar tot grupul studiat) se folosește $σ = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}$ . Pentru un eșantion (o submulțime extrasă dintr-o populație mai mare) se folosește $s = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$ . Regula: dacă enunțul nu spune altfel, se lucrează cu $σ$ , iar situația de „întreagă populație" se precizează explicit; termenul „eșantion" cere $s$ .

$σ \geq 0$ întotdeauna, se exprimă în unitatea datelor și este $0$ doar când toate valorile sunt egale. Translația (adunarea unei constante) nu schimbă abaterea standard; dilatarea (înmulțirea cu $k$ ) o multiplică cu $k$ . În foaia de calcul, STDEV.P corespunde lui $σ$ , iar STDEV.S lui $s$ .

De reținut

$σ = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}$ pentru populație
$s$ împarte la $n - 1$ , pentru eșantion
$σ \geq 0$ , cu $σ = 0$ doar la valori egale

Greșeala tipică

Se oprește calculul înainte de radical și se raportează varianța drept abatere standard. Fără rădăcina pătrată, numărul rămâne exprimat în unitatea datelor ridicată la pătrat, deci nu se poate compara cu valorile din set.

Exerciții din această mini-lecție

De ce se ridică la pătrat abaterile $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ înainte de a le face media, în loc să se folosească direct media abaterilor?
- a) Pentru că suma abaterilor simple este întotdeauna $0$ , deci media lor nu ar măsura nimic.
- b) Pentru că pătratele se calculează mai ușor decât diferențele.
- c) Pentru că mediana o cere.
- d) Pentru că altfel rezultatul ar fi negativ.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Pentru că suma abaterilor simple este întotdeauna $0$ , deci media lor nu ar măsura nimic.

$\sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) = \sum x_{i} - n \overset{x}{ˉ} = 0$ pentru orice set de date, pentru că abaterile pozitive și cele negative se anulează exact. Ridicarea la pătrat elimină semnele fără să piardă informația despre mărime.
Un cercetător măsoară o caracteristică la TOȚI cei $30$ de elevi ai unei clase (populația completă, nu un eșantion). Ce formulă folosește pentru abaterea standard?
- a) $s$ , cu împărțire la $n - 1$ .
- b) $σ$ , cu împărțire la $n$ .
- c) Oricare dintre ele, rezultatul e identic.
- d) Niciuna — abaterea standard cere obligatoriu un eșantion.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $σ$ , cu împărțire la $n$ .

Când setul de date este chiar întreaga populație studiată, se folosește $σ$ , cu împărțire la $n$ . Formula cu $n - 1$ ( $s$ ) se folosește doar când datele sunt un eșantion dintr-o populație mai mare.
Patru pachete de făină, considerate întreaga populație controlată, au greutățile $994, 994, 1006, 1006$ de grame. Cât este abaterea standard $σ$ ?
- a) $3$ grame
- b) $12$ grame
- c) $6$ grame
- d) $36$ grame
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $6$ grame

Media este $\overset{x}{ˉ} = 1000$ grame. Abaterile sunt $- 6, - 6, 6, 6$ , cu pătratele $36, 36, 36, 36$ , sumă $144$ . Atunci $σ = \frac{144}{4} = 36 = 6$ grame.

Întrebări conexe

Ce este varianța unui set de date?

Este media pătratelor abaterilor față de medie, adică numărul aflat sub radical în formula abaterii standard. Se măsoară în unitatea datelor ridicată la pătrat, motiv pentru care se extrage rădăcina: altfel rezultatul nu s-ar putea compara cu datele.

În ce unitate de măsură se exprimă abaterea standard?

În aceeași unitate ca datele: dacă lucrezi cu înălțimi în centimetri, abaterea standard iese tot în centimetri. Tocmai de aceea se extrage radicalul la final, ca rezultatul să poată fi comparat direct cu valorile și cu media lor.

Ce se întâmplă cu abaterea standard dacă adun o constantă la toate datele?

Rămâne neschimbată. Media se deplasează cu aceeași constantă, deci fiecare abatere față de medie este exact cea dinainte. Împrăștierea nu depinde de locul în care se află datele pe axă, ci doar de distanțele dintre ele.

Ce se întâmplă cu abaterea standard dacă înmulțesc datele cu $3$ ?

Se înmulțește și ea cu $3$ . Toate abaterile se triplează, pătratele lor cresc de nouă ori, iar radicalul aduce factorul înapoi la $3$ . Regula generală: la înmulțirea datelor cu un număr pozitiv $k$ , abaterea standard se înmulțește cu $k$ .

Față de ce valoare se calculează abaterile?

Față de media aritmetică a setului, nu față de mediană și nici față de o valoare aleasă convenabil. Formula conține chiar $\overset{x}{ˉ}$ , iar folosirea altui reper dă un număr mai mare decât abaterea standard adevărată.

Care sunt pașii de calcul ai abaterii standard?

Calculezi media; scazi media din fiecare valoare; ridici fiecare diferență la pătrat; aduni pătratele; împarți suma la $n$ sau la $n - 1$ , după caz; extragi radicalul. Un control util: suma diferențelor, înainte de ridicarea la pătrat, trebuie să fie zero.

Oamenii mai întreabă și: formula abaterii standard · abaterea standard · cum se calculează abaterea standard · sigma la statistică