Cum adun și cum scad numere complexe?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Adunarea și scăderea în ℂ

Lucrezi separat pe fiecare parte, niciodată încrucișat: partea reală cu partea reală, partea imaginară cu partea imaginară. Astfel $(a + bi) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$ , iar la scădere semnele se schimbă la amândoi termenii din paranteza a doua. De exemplu, $(6 - 3 i) + (- 4 + 5 i) = 2 + 2 i$ , iar $(1 + 9 i) - (5 - 2 i) = - 4 + 11 i$ . Suma a două numere nereale poate ieși reală, dacă părțile imaginare se sting una pe alta.

Numerele complexe se adună și se scad pe componente: fiecare parte cu partea ei, niciodată încrucișat. Pentru $z_{1} = a + bi$ și $z_{2} = c + d i$ ,

$z_{1} + z_{2} = (a + c) + (b + d) i, z_{1} - z_{2} = (a - c) + (b - d) i .$

Scăderea este adunarea cu opusul: opusul lui $z = a + bi$ este $- z = - a - bi$ , obținut schimbând semnul ambelor părți. Atenție la scădere: minusul din fața parantezei schimbă semnul la ambii termeni din ea.

$(C, +)$ este grup abelian: adunarea e comutativă, asociativă, are elementul neutru $0$ și fiecare număr are opus — toate proprietățile se demonstrează reducându-le la proprietățile corespunzătoare de pe $R$ , pe fiecare componentă.

O consecință importantă: suma a două numere nereale poate fi reală, dacă părțile imaginare se anulează reciproc, de exemplu $(2 + 3 i) + (1 - 3 i) = 3$ .

Geometric, adunarea numerelor complexe este exact adunarea vectorilor: $z_{1} + z_{2}$ se obține prin regula paralelogramului, iar $z_{B} - z_{A}$ este vectorul care duce din punctul $A$ în punctul $B$ . Ecuațiile simple de tipul $z + z_{1} = z_{2}$ se rezolvă exact ca pe $R$ , izolând necunoscuta.

De reținut

$(a + bi) \pm (c + d i) = (a \pm c) + (b \pm d) i$
opusul: $- z = - a - bi$
$(2 + 3 i) + (1 - 3 i) = 3$ : doi termeni nereali, rezultat real

Greșeala tipică

Se schimbă semnul doar la partea reală atunci când se desface paranteza de la scădere. Minusul se aplică amândurora termenilor, deci și celui cu $i$ .

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $(6 - 3 i) + (- 4 + 5 i)$ .
- a) $2 + 2 i$
- b) $10 - 8 i$
- c) $- 10 + 2 i$
- d) $2 - 8 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2 + 2 i$

Adunăm separat părțile: $(6 - 4) + (- 3 + 5) i = 2 + 2 i$ . Varianta b) adună greșit încrucișat, iar c) și d) greșesc semnul la partea imaginară.
Calculați $(1 + 9 i) - (5 - 2 i)$ .
- a) $- 4 + 7 i$
- b) $- 4 + 11 i$
- c) $4 - 11 i$
- d) $6 + 11 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 4 + 11 i$

Scădem pe componente: $(1 - 5) + (9 - (- 2)) i = - 4 + 11 i$ . Varianta a) greșește semnul lui $- (- 2)$ ; verifică mereu $- (- \dots) = +$ .
Care este opusul numărului $z = - 8 + 3 i$ ?
- a) $- 8 - 3 i$
- b) $8 + 3 i$
- c) $8 - 3 i$
- d) $3 - 8 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $8 - 3 i$

Opusul se obține schimbând semnul ambelor părți: $- (- 8 + 3 i) = 8 - 3 i$ . Variantele a) și b) schimbă doar unul dintre semne.

Întrebări conexe

Cât face 6 minus 3i, plus minus 4 plus 5i?

Aduni părțile reale, $6 + (- 4) = 2$ , apoi părțile imaginare, $- 3 + 5 = 2$ . Rezultatul este $2 + 2 i$ . O greșeală obișnuită este amestecarea lor, adică adunarea unei părți reale cu una imaginară, ceea ce nu are niciun sens.

Cât face 1 plus 9i, minus 5 minus 2i?

Scazi pe componente: $1 - 5 = - 4$ pentru partea reală și $9 - (- 2) = 11$ pentru cea imaginară. Rezultatul este $- 4 + 11 i$ . Atenție la dubla schimbare de semn de la partea imaginară, unde minusul din fața parantezei întâlnește un minus.

Care este opusul numărului minus 8 plus 3i?

Schimbi semnul amândurora părților și obții $8 - 3 i$ . Opusul se notează $- z$ și verifică $z + (- z) = 0$ . Greșeala frecventă este să schimbi doar un semn, ceea ce ar da un număr care nu se anulează la adunare cu cel de plecare.

Ce număr z verifică z minus 3 minus 4i, egal 5 plus i?

Aduni $3 - 4 i$ în amândoi membrii și izolezi necunoscuta: $z = (5 + i) + (3 - 4 i)$ . Pe componente, $5 + 3 = 8$ și $1 - 4 = - 3$ , deci $z = 8 - 3 i$ . Verificarea confirmă, fiindcă $(8 - 3 i) - (3 - 4 i)$ dă într-adevăr $5 + i$ . Ecuațiile de acest tip se rezolvă exact ca peste numerele reale.

Care este partea reală a sumei dintre 2 minus 7i și 9 plus 7i?

Părțile reale dau $2 + 9 = 11$ , iar cele imaginare $- 7 + 7 = 0$ . Suma este numărul real $11$ , deci partea lui reală este chiar $11$ . Exemplul arată cum două numere nereale pot avea o sumă cu totul reală.

De ce schimbă minusul din fața parantezei semnul ambilor termeni?

Pentru că scăderea înseamnă adunarea cu opusul, iar opusul unui număr complex schimbă amândouă părțile. Scris desfășurat, $- (c + d i) = - c - d i$ . Uitarea semnului la partea imaginară este cea mai frecventă greșeală de calcul la scăderi.

Oamenii mai întreabă și: adunarea numerelor complexe · scăderea numerelor complexe · opusul unui număr complex · cum se adună a plus bi · operații pe componente cu numere complexe