Cum se adună și se scad două polinoame?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Adunarea și scăderea polinoamelor

Aduni coeficienții de același rang: $c_{k} = a_{k} + b_{k}$ , completând cu $0$ rangurile care lipsesc. Scăderea este adunarea cu opusul, deci schimbi semnul la toți coeficienții scăzătorului. Pentru $f = 2 X^{2} + 3$ și $g = X^{2} - 4 X + 1$ obții $f + g = 3 X^{2} - 4 X + 4$ și $f - g = X^{2} + 4 X + 2$ . Un control rapid: înlocuiește nedeterminata cu $1$ și verifică dacă valorile se adună la fel ca polinoamele.

Suma a două polinoame se calculează pe coeficienți de același rang: $c_{k} = a_{k} + b_{k}$ — exact reducerea termenilor asemenea, cu rangurile lipsă completate cu $0$ . Cel mai sigur procedeu practic e tabelul de coeficienți, aliniat pe ranguri.

Surpriza capitolului: pentru $f, g, f + g$ nenule, $grad (f + g) \leq max (grad f, grad g)$ — o inegalitate, nu o egalitate. Dacă gradele sunt diferite, are loc sigur egalitatea; dacă sunt egale, coeficienții dominanți se pot anula prin adunare, iar gradul sumei poate scădea oricât de mult (chiar până la polinomul nul, care nu mai are grad deloc).

Opusul lui $f$ are toți coeficienții schimbați de semn; scăderea este $f - g = f + (- g)$ , cu semnul schimbat la toți termenii scăzătorului. Adunarea polinoamelor este comutativă, asociativă, are element neutru (polinomul nul) și element opus — se comportă ca un grup abelian, exact ca $(C, +)$ .

Cel mai rapid control al unui rezultat: evaluarea în câteva puncte comode ( $x = 1, - 1, 2$ ), folosind $(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ — o nepotrivire arată sigur o greșeală, deși o potrivire nu e o demonstrație completă.

De reținut

$c_{k} = a_{k} + b_{k}$ pe fiecare rang
$f - g = f + (- g)$
$grad (f + g) \leq max (grad f, grad g)$

Greșeala tipică

Se adună monoame de ranguri diferite: $3 X^{2} + 5 X$ nu se reduce la $8 X^{2}$ . Se adună numai coeficienții monoamelor care au același exponent.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $f = 4 X^{3} - X^{2} + 2 X - 5$ și $g = - 4 X^{3} + 3 X^{2} - 6$ , calculați $f + g$ .
- a) $2 X^{2} + 2 X - 11$
- b) $2 X^{2} - 2 X - 11$
- c) $8 X^{3} + 2 X^{2} + 2 X - 11$
- d) $2 X^{2} + 2 X - 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2 X^{2} + 2 X - 11$

Pe ranguri: $4 - 4 = 0$ ; $- 1 + 3 = 2$ ; $2 + 0 = 2$ ; $- 5 - 6 = - 11$ . Termenii de rang $3$ se reduc, deci $f + g = 2 X^{2} + 2 X - 11$ .
Care este gradul lui $f + g$ de la exercițiul anterior?
- a) $3$
- b) $2$
- c) $6$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $2$

Deși $f$ și $g$ au gradul $3$ , coeficienții dominanți ( $4$ și $- 4$ ) se anulează, iar gradul sumei coboară la $2$ .
Dacă $grad f = 6$ și $grad g = 2$ , ce grad are $f + g$ ?
- a) $8$
- b) $2$
- c) $6$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $6$

Gradele fiind diferite, egalitatea are loc sigur: gradul sumei este cel mai mare dintre cele două, adică $6$ .

Întrebări conexe

Ce este tabelul de coeficienți folosit la adunarea polinoamelor?

Este un tabel în care fiecare coloană ține un rang, de la cel mai mare până la termenul liber, iar fiecare linie ține un polinom. Aduni pe coloane și citești rezultatul. Metoda are avantajul că golurile devin vizibile: o coloană fără număr se completează cu zero.

Când este gradul sumei sigur egal cu maximul gradelor?

Atunci când cele două polinoame au grade diferite. Coeficientul dominant al celui de grad mai mare nu are cu ce să se anuleze, așa că rămâne în sumă. Dacă gradele coincid, coeficienții dominanți se pot reduce, iar gradul sumei scade.

Poate suma a două polinoame să fie polinomul nul?

Da, atunci când al doilea este opusul primului: $f + (- f) = 0$ . Este cazul extrem al scăderii gradului, în care nu mai rămâne niciun coeficient nenul. Rezultatul este polinomul nul, despre care nu are sens să spui ce grad are.

De ce se schimbă toate semnele la scăderea polinoamelor?

Pentru că $f - g$ înseamnă $f + (- g)$ , iar opusul unui polinom are fiecare coeficient schimbat de semn, nu doar primul. Metoda sigură este să scrii întâi $- g$ complet, cu toate semnele răsturnate, și abia apoi să aduni pe coloane.

Ce se întâmplă cu termenul liber când adun două polinoame?

Se adună termenii liberi ai celor două polinoame, ca orice altă pereche de coeficienți de același rang. Verificarea vine gratuit: valoarea sumei în zero trebuie să fie suma valorilor în zero, adică $(f + g) (0) = f (0) + g (0)$ .

Cum aliniez termenii lipsă când adun polinoame în coloană?

Rezervi o coloană pentru fiecare rang, de la gradul cel mai mare până la $0$ , și scrii $0$ acolo unde un polinom nu are termen. Fără locul rezervat, coloanele alunecă și ajungi să aduni monoame de ranguri diferite, greșeală care nu dă niciun semnal.

Oamenii mai întreabă și: adunarea polinoamelor · scăderea polinoamelor · cum adun două polinoame · suma și diferența a două polinoame