Care e afixul mijlocului unui segment?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Mijloc, centru de greutate, raport

Mijlocul $M$ al segmentului $[A B]$ are afixul egal cu media aritmetică a capetelor: $z_{M} = \frac{z _{A} + z _{B}}{2}$ . Pentru $z_{A} = 2 - i$ și $z_{B} = 6 + 5 i$ obții $z_{M} = \frac{8 + 4 i}{2} = 4 + 2 i$ . Formula se verifică imediat: partea reală a lui $z_{M}$ este media absciselor, iar partea imaginară media ordonatelor, exact ca formula mijlocului din geometria analitică. Din ea se obține și simetricul lui $A$ față de $M$ , cu afixul $2 z_{M} - z_{A}$ .

Afixul mijlocului segmentului $[A B]$ este media aritmetică a capetelor: $z_{M} = \frac{z _{A} + z _{B}}{2}$ . Mai general, un punct $M$ care împarte $[A B]$ în raportul $k$ (adică $\frac{A M}{M B} = k$ ) are afixul

$z_{M} = \frac{z _{A} + k z _{B}}{1 + k},$

o medie ponderată în care capătul mai depărtat, $B$ , primește ponderea $k$ . Pentru $k = 1$ se regăsește mijlocul. La diviziunea exterioară (punctul e pe dreaptă, dar în afara segmentului), semnele devin minus: $z_{N} = \frac{z _{A} - k z _{B}}{1 - k}$ .

Afixul centrului de greutate al unui triunghi este media aritmetică a celor trei vârfuri, $z_{G} = \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3}$ — obținută aplicând formula raportului cu $k = 2$ pe o mediană; simetria expresiei finale în $z_{A}, z_{B}, z_{C}$ demonstrează, ca produs secundar, că cele trei mediane sunt concurente.

Trei consecințe rapide: simetricul lui $A$ față de $M$ are afixul $2 z_{M} - z_{A}$ ; al patrulea vârf al paralelogramului $A B C D$ (cu diagonalele $[A C]$ și $[B D]$ ) are afixul $z_{D} = z_{A} + z_{C} - z_{B}$ ; iar dintr-un centru de greutate și două vârfuri se află al treilea, $z_{C} = 3 z_{G} - z_{A} - z_{B}$ .

Parametrizarea generală a unui segment, $z = (1 - t) z_{A} + t z_{B}$ cu $t \in [0, 1]$ , arată ce fracțiune din drumul $A \to B$ ai parcurs: $t = 0$ dă $A$ , $t = 1$ dă $B$ , iar orice $t$ real, nu doar din $[0, 1]$ , descrie toată dreapta $A B$ — sămânța criteriului de coliniaritate din lecția următoare.

De reținut

$z_{M} = \frac{z _{A} + z _{B}}{2}$
$z_{G} = \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3}$
$z_{M} = \frac{z _{A} + k z _{B}}{1 + k}$ pentru $\frac{A M}{M B} = k$

Greșeala tipică

Suma tuturor celor trei afixe trebuie împărțită la $3$ deodată; scrierea $z_{A} + \frac{z _{B} + z _{C}}{3}$ pare asemănătoare, dar indică un cu totul alt punct al planului.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați afixul mijlocului segmentului $[A B]$ , pentru $A (3 + 2 i)$ și $B (9 + 8 i)$ .
- a) $6 + 5 i$
- b) $12 + 10 i$
- c) $3 + 3 i$
- d) $6 + 4 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $6 + 5 i$

$z_{M} = \frac{( 3 + 2 i ) + ( 9 + 8 i )}{2} = \frac{12 + 10 i}{2} = 6 + 5 i$ .
Punctul $M$ împarte segmentul $[A B]$ în raportul $\frac{A M}{M B} = 3$ , cu $A (0)$ și $B (8 + 4 i)$ . Calculați afixul lui $M$ .
- a) $2 + i$
- b) $6 + 3 i$
- c) $24 + 12 i$
- d) $8 + 4 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6 + 3 i$

$z_{M} = \frac{z _{A} + 3 z _{B}}{4} = \frac{0 + 3 ( 8 + 4 i )}{4} = \frac{24 + 12 i}{4} = 6 + 3 i$ .
Care este afixul centrului de greutate al triunghiului cu vârfurile $A (3 + i)$ , $B (9 + 4 i)$ , $C (3 + 10 i)$ ?
- a) $3 + 5 i$
- b) $15 + 15 i$
- c) $5 + 5 i$
- d) $5 + 3 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $5 + 5 i$

$z_{G} = \frac{( 3 + i ) + ( 9 + 4 i ) + ( 3 + 10 i )}{3} = \frac{15 + 15 i}{3} = 5 + 5 i$ .

Întrebări conexe

Cum aflu al treilea vârf dacă știu centrul de greutate și celelalte două?

Pornești de la $z_{G} = \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3}$ și izolezi necunoscuta: $z_{C} = 3 z_{G} - z_{A} - z_{B}$ . De exemplu, cu $z_{G} = 1 + i$ , $z_{A} = 2$ și $z_{B} = - 1 + 3 i$ obții $z_{C} = 3 + 3 i - 2 + 1 - 3 i = 2$ . Verifici la final adunând cele trei afixe și împărțind la trei.

Ce reprezintă parametrul $t$ în scrierea unui punct de pe un segment?

În scrierea $z = (1 - t) z_{A} + t z_{B}$ , parametrul $t$ arată ce parte din drumul de la $A$ la $B$ ai parcurs: $t = 0$ dă capătul $A$ , $t = 1$ dă capătul $B$ , iar $t = \frac{1}{2}$ dă mijlocul. Pentru $t$ real oarecare, punctul descrie toată dreapta $A B$ .

Cum verific rapid formula punctului care împarte un segment?

Pui $k = 1$ în $z_{M} = \frac{z _{A} + k z _{B}}{1 + k}$ și trebuie să obții media capetelor, adică mijlocul. Un al doilea control: la $k$ foarte mare, expresia se apropie de $z_{B}$ , ceea ce se potrivește cu faptul că punctul ajunge lângă capătul al doilea.

De ce capătul mai depărtat primește ponderea $k$ ?

Convenția este $\frac{A M}{M B} = k$ , deci un $k$ mare înseamnă că bucata dinspre $A$ e lungă, adică punctul stă aproape de $B$ . Media ponderată trage rezultatul spre capătul cu ponderea mai mare, așa că factorul $k$ trebuie să stea lângă $z_{B}$ .

Cum aflu afixul centrului unui paralelogram?

Diagonalele unui paralelogram se taie în părți egale, deci centrul este mijlocul fiecăreia dintre ele. Pentru $A B C D$ cu diagonalele $[A C]$ și $[B D]$ , afixul centrului este $\frac{z _{A} + z _{C}}{2}$ , egal cu $\frac{z _{B} + z _{D}}{2}$ — o egalitate care se folosește ca test de paralelogram.

În ce raport împarte centrul de greutate o mediană?

Centrul de greutate taie fiecare mediană în raportul $2$ , socotit dinspre vârf: bucata dintre vârf și $G$ este de două ori mai lungă decât cea dintre $G$ și mijlocul laturii opuse. Exact acest raport, pus în formula punctului care împarte un segment, dă $z_{G} = \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3}$ .

Oamenii mai întreabă și: afixul mijlocului unui segment · formula mijlocului cu numere complexe · cum aflu mijlocul din afixe · mijlocul segmentului AB cu afixe