Care este ordinea corectă a celor patru mișcări dintr-un pas al algoritmului de împărțire a polinoamelor?

împarte, scade, înmulțește, coboară

înmulțește, împarte, coboară, scade

coboară, împarte, înmulțește, scade

Cum se împart două polinoame pas cu pas?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Împarte, înmulțește, scade, coboară

Așezi ambele polinoame în ordine descrescătoare a gradelor și pui $0$ în locul termenilor care lipsesc. Apoi repeți patru mișcări: termenul de grad maxim rămas se împarte la cel al împărțitorului, monomul obținut înmulțește tot împărțitorul, produsul se scade, iar termenii următori coboară. Te oprești când gradul restului ajunge sub gradul împărțitorului. La $X^{3} + 2 X^{2} - 1$ împărțit la $X + 1$ ies câtul $X^{2} + X - 1$ și restul $0$ .

Împărțirea a două polinoame $f$ și $g$ (cu $g \neq = 0$ ) urmează, coeficient cu coeficient, aceeași procedură ca împărțirea numerelor naturale în scris. Înainte de primul pas, ambele polinoame se ordonează descrescător după grade, iar termenii lipsă se completează cu $0$ — aici apar cele mai multe greșeli, pentru că fără locul rezervat coloanele se deplasează.

Fiecare pas al algoritmului are patru mișcări: împarți termenul dominant al restului parțial la termenul dominant al lui $g$ , obținând un monom al câtului; înmulțești acel monom cu tot $g$ ; scazi produsul din restul parțial, cu grijă la semne; apoi cobori termenii rămași. Te oprești când gradul restului scade sub gradul lui $g$ — ce rămâne este restul $r$ , iar $f = g \cdot q + r$ .

Dacă $g$ nu este monic, la fiecare pas apar în mod natural fracții, chiar dacă $f$ și $g$ au coeficienți întregi — nu e o greșeală, ci exact ce garantează teorema împărțirii cu rest. Dacă restul iese $0$ , împărțirea este exactă și obții direct o descompunere în factori a lui $f$ . Verificarea obligatorie, de fiecare dată: înmulțești câtul cu împărțitorul, aduni restul și trebuie să regăsești exact deîmpărțitul.

De reținut

ordonează și completează golurile cu $0$
împarte, înmulțește, scade, coboară
oprire: $grad r < grad g$

Greșeala tipică

Se încearcă simplificarea pe termeni: din $\frac{X ^{4} - 16}{X - 2}$ iese, chipurile, $X^{3} - 8$ . O fracție de polinoame nu se reduce astfel; singura cale corectă rămâne algoritmul.

Exerciții din această mini-lecție

Care este ordinea corectă a celor patru mișcări dintr-un pas al algoritmului de împărțire a polinoamelor?
- a) împarte, înmulțește, scade, coboară
- b) împarte, scade, înmulțește, coboară
- c) înmulțește, împarte, coboară, scade
- d) coboară, împarte, înmulțește, scade
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) împarte, înmulțește, scade, coboară

Ordinea fixă este: împarți termenii dominanți ca să afli monomul câtului, îl înmulțești cu tot împărțitorul, scazi produsul din restul parțial, apoi cobori termenii rămași și reiei. Orice altă ordine strică schema de calcul.
Care este câtul împărțirii lui $f = X^{4} - X^{3} - 3 X^{2} + 5 X - 2$ la $g = X^{2} - X + 1$ ?
- a) $X^{2} + 4$
- b) $X^{2} - 4$
- c) $X^{2} - X - 4$
- d) $X^{2} - 2 X - 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $X^{2} - 4$

Primul pas: $X^{4} : X^{2} = X^{2}$ , iar $X^{2} (X^{2} - X + 1) = X^{4} - X^{3} + X^{2}$ ; scăzând rămâne $- 4 X^{2} + 5 X - 2$ . Al doilea pas: $- 4 X^{2} : X^{2} = - 4$ , iar $- 4 (X^{2} - X + 1) = - 4 X^{2} + 4 X - 4$ ; scăzând rămâne $X + 2$ , de grad $1 < 2$ , deci ne oprim. Câtul este $X^{2} - 4$ , restul $X + 2$ . Verificare: $(X^{2} - X + 1) (X^{2} - 4) + X + 2 = X^{4} - X^{3} - 3 X^{2} + 5 X - 2$ ✓.
Care este restul împărțirii lui $f = 4 X^{3} - X^{2} + 3 X - 2$ la $g = 2 X - 1$ ?
- a) $- \frac{1}{2}$
- b) $\frac{1}{4}$
- c) $- \frac{1}{4}$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- \frac{1}{4}$

Coeficientul dominant al lui $g$ nu este $1$ , deci apar fracții: $4 X^{3} : 2 X = 2 X^{2}$ , apoi (după scădere) $X^{2} : 2 X = \frac{1}{2} X$ , apoi $\frac{7}{2} X : 2 X = \frac{7}{4}$ . Efectuând complet algoritmul, câtul este $q = 2 X^{2} + \frac{1}{2} X + \frac{7}{4}$ și restul $- \frac{1}{4}$ . Verificare: $(2 X - 1) (2 X^{2} + \frac{1}{2} X + \frac{7}{4}) - \frac{1}{4} = 4 X^{3} - X^{2} + 3 X - 2$ ✓.

Întrebări conexe

Câți pași are împărțirea a două polinoame?

Atâția câți arată diferența dintre gradele celor două polinoame, plus unu. Împărțind un polinom de gradul $5$ la unul de gradul $2$ faci patru pași, iar câtul iese de gradul $3$ . Numărul acesta se poate anunța dinainte, ca verificare.

Cum împart un polinom la unul de gradul al doilea?

Procedura este aceeași, doar că la fiecare pas înmulțești monomul câtului cu trei termeni, nu cu doi, iar restul final poate avea gradul $1$ . De exemplu, $X^{4} + 1$ împărțit la $X^{2} + 1$ dă câtul $X^{2} - 1$ și restul $2$ .

Ce fac dacă îmi rămâne un rest de același grad cu împărțitorul?

Înseamnă că algoritmul nu s-a încheiat: mai ai cel puțin un pas de făcut. Criteriul de oprire este strict, gradul restului trebuie să coboare sub gradul împărțitorului. Continui împărțind termenii dominanți și scăzând, până când condiția este îndeplinită.

Cum ordonez polinoamele înainte de a începe împărțirea?

Le scrii cu puterile în ordine descrescătoare și rezervi un loc pentru fiecare exponent, chiar dacă lipsește: $X^{4} - 16$ devine $X^{4} + 0 X^{3} + 0 X^{2} + 0 X - 16$ . Așezarea aceasta ține coloanele aliniate și împiedică adunarea unor monoame de grade diferite.

De ce se schimbă toate semnele la scăderea din algoritm?

Pentru că se scade întregul produs dintre monomul câtului și împărțitor, nu doar primul lui termen. Tehnica sigură este să scrii produsul cu semnele deja răsturnate și apoi să aduni pe coloane; astfel dispare cea mai frecventă eroare de calcul.

Cum determin un parametru ca împărțirea să dea un rest dat?

Faci împărțirea cu parametrul rămas în calcul, apoi pui restul obținut egal cu cel cerut și rezolvi. Dacă restul are gradul $1$ , obții două ecuații, una pentru coeficientul lui $X$ și una pentru termenul liber, care trebuie satisfăcute amândouă.

Oamenii mai întreabă și: algoritmul împărțirii polinoamelor · împărțirea polinoamelor pas cu pas · cum împart polinoame în scris · împărțire lungă la polinoame