Unde se folosesc logaritmii în viața reală?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Aplicații: dobândă, Richter, pH, dezintegrare

Peste tot unde o mărime se înmulțește cu același factor la fiecare pas: dobânda care se adaugă la capital, populația unei culturi, substanța care se dezintegrează. Modelul se scrie $M (t) = M_{0} q^{t}$ . Ca să afli valoarea de peste un anumit timp calculezi o putere; ca să afli timpul necesar ai nevoie de un logaritm. Tot pe logaritmi stau scările comprimate: magnitudinea unui cutremur, pH-ul unei soluții și nivelul sonor în decibeli.

Aproape orice aplicație din această lecție se scrie $M (t) = M_{0} \cdot q^{t}$ : întrebarea directă («cât va fi peste $t$ pași?») cere o putere, întrebarea inversă («după cât timp?») cere un logaritm, $t = \frac{l g ( M / M _{0} )}{l g q}$ .

Dobânda compusă: $S_{n} = S_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$ ; timpul de dublare este $n = lo g_{q} 2 = \frac{l g 2}{l g q}$ , estimat rapid cu regula lui 70, $n \approx \frac{70}{p}$ . Scara Richter: $M = l g \frac{A}{A _{0}}$ — o unitate în plus înseamnă amplitudine de $10$ ori mai mare; din $l g E = 4, 8 + 1, 5 M$ , aceeași unitate înseamnă energie de circa $31, 6$ ori mai mare. pH: $pH = - l g [H^{+}]$ , deci $[H^{+}] = 1 0^{- pH}$ ; o diferență de $1$ unitate de pH înseamnă un raport de $10$ între concentrații, iar pH mai mare înseamnă aciditate mai mică. Dezintegrarea: $N (t) = N_{0} \cdot 2^{- t / T}$ , cu $T$ timpul de înjumătățire — rămâne $50%$ după $T$ , $25%$ după $2 T$ .

Toate patru comprimă intervale uriașe de valori într-o scară logaritmică: o diferență constantă pe scară înseamnă un raport constant în realitate — capcana clasică e să tratezi scara ca fiind liniară.

De reținut

$M (t) = M_{0} q^{t}$ ; timpul: $t = \frac{l g ( M / M _{0} )}{l g q}$
dobândă compusă: $S_{n} = S_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$
dezintegrare: $N (t) = N_{0} \cdot 2^{- t / T}$

Greșeala tipică

Se calculează dobânda pe mai mulți ani înmulțind dobânda unui an cu numărul de ani. La capitalizare, procentul se aplică de fiecare dată sumei crescute, deci apare o putere, nu o înmulțire.

Exerciții din această mini-lecție

O sumă de $2000$ de lei este depusă cu dobândă anuală de $5%$ , capitalizată. Ce sumă este în cont după $2$ ani?
- a) $2205$ lei
- b) $2200$ lei
- c) $2100$ lei
- d) $2500$ lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2205$ lei

$S_{2} = 2000 \cdot 1, 0 5^{2} = 2000 \cdot 1, 1025 = 2205$ lei. Dobânda simplă ar da doar $2200$ lei — diferența de $5$ lei este «dobânda la dobândă».
O soluție are $pH = 4$ , alta $pH = 7$ . De câte ori este mai acidă prima decât a doua?
- a) de $3$ ori
- b) de $1000$ de ori
- c) de $10$ ori
- d) de $100$ de ori
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) de $1000$ de ori

Raportul concentrațiilor de ioni de hidrogen este $\frac{1 0 ^{- 4}}{1 0 ^{- 7}} = 1 0^{3} = 1000$ . O diferență de $3$ unități de pH ascunde un raport de $1000$ , nu de $3$ .
Un cutremur are magnitudinea $6$ , altul magnitudinea $5$ . De câte ori este mai mare amplitudinea primului?
- a) de $1$ ori (egale)
- b) de $2$ ori
- c) de $10$ ori
- d) de $6/5$ ori
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) de $10$ ori

Din $M = l g \frac{A}{A _{0}}$ : raportul amplitudinilor este $1 0^{6 - 5} = 10$ . O unitate în plus pe scara Richter înseamnă amplitudine de $10$ ori mai mare.

Întrebări conexe

Ce formulă generală au aproape toate aplicațiile de creștere sau descreștere?

Forma este $M (t) = M_{0} q^{t}$ , unde $M_{0}$ este valoarea de pornire, iar $q$ factorul cu care se înmulțește la fiecare pas. Când ți se cere valoarea după un timp dat, calculezi o putere; când ți se cere timpul, ai nevoie de un logaritm, $t = \frac{l g ( M / M _{0} )}{l g q}$ .

De ce dobânda compusă bate dobânda simplă pe termen lung?

Fiindcă la dobânda compusă procentul se aplică sumei deja mărite, nu celei de la început. Diferența este mică în primii ani și se lărgește tot mai repede, exact ca deosebirea dintre o dreaptă și o curbă care urcă.

Cum aflu după cât timp o cantitate scade la un sfert?

Numeri câte înjumătățiri sunt de trecut: un sfert înseamnă două, deci timpul cerut este dublul timpului de înjumătățire. Pentru fracții care nu sunt puteri ale lui doi se rezolvă o ecuație exponențială, cu logaritm.

Cum trec de la o ecuație exponențială la una obișnuită?

Aplici logaritm în ambii membri și cobori necunoscuta din exponent, folosind proprietatea puterii. Ecuația devine liniară în necunoscută, iar rezultatul se calculează cu logaritmi zecimali sau naturali, după cum îi ai pe calculator.

Ce este regula lui 70 la dobânda compusă?

O estimare rapidă a timpului de dublare: împarți $70$ la procentul anual și obții aproximativ numărul de ani. La $7$ la sută rezultă cam zece ani. Ea vine din $\frac{ln 2}{ln ( 1 + p /100 )}$ , aproximat pentru procente mici, și înlocuiește un calcul cu logaritmi.

De câte ori crește energia unui cutremur la o unitate în plus?

De aproximativ $31, 6$ ori. Din relația $l g E = 4, 8 + 1, 5 M$ , o unitate în plus la magnitudine adaugă $1, 5$ la logaritmul energiei, iar $1 0^{1, 5}$ înseamnă cam $31, 6$ . Amplitudinea, în schimb, crește doar de zece ori la același salt.

Oamenii mai întreabă și: aplicații ale logaritmilor · dobândă compusă formula · scara Richter și logaritmii · pH și logaritm zecimal · timp de înjumătățire calcul