Cum calculez aranjamente de n luate câte k?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Aranjamente: definiție și formulă

Înmulțești $k$ numere consecutive care coboară pornind de la $n$ : $A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ , ceea ce se scrie și $\frac{n !}{( n - k )!}$ . Astfel $A_{8}^{3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ , iar $A_{9}^{2} = 9 \cdot 8 = 72$ . Forma cu produs este mai rapidă la numere, cea cu factoriale mai potrivită la calcule cu litere. Aranjamentele numără submulțimile ordonate de $k$ elemente diferite alese dintre $n$ .

Un aranjament de $n$ elemente luate câte $k$ este o submulțime ordonată de $k$ elemente distincte dintre cele $n$ : se folosesc doar $k$ dintre elemente, dar ordinea contează. Numărul lor, $A_{n}^{k}$ , se obține cu regula produsului: $n$ variante pentru prima poziție, $n - 1$ pentru a doua, …, $n - k + 1$ pentru poziția $k$ — exact $k$ factori: $A_{n}^{k} = n (n - 1) (n - 2) \dots (n - k + 1) = \frac{n !}{( n - k )!} .$

Forma-produs e mai rapidă la calcule numerice ( $A_{10}^{3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ , fără să calculezi $10!$ ); forma cu factoriale e mai potrivită la simplificări cu literă. Cazuri particulare: $A_{n}^{0} = 1$ , $A_{n}^{1} = n$ , $A_{n}^{n} = n! = P_{n}$ — permutările sunt un caz particular de aranjamente, anume $k = n$ .

Criteriul de recunoaștere: dacă schimbând între ele două dintre elementele alese obții altă situație (podium, funcții distincte, cifre ale unui număr), ai de-a face cu aranjamente. Greșeala cea mai frecventă: numărul greșit de factori — $A_{n}^{k}$ are exact $k$ factori, nu mai mulți și nu mai puțini.

De reținut

$A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ , cu $k$ factori
$A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$
$A_{n}^{0} = 1$ , $A_{n}^{1} = n$ , $A_{n}^{n} = n!$

Greșeala tipică

Se scriu $k + 1$ factori în loc de $k$ , coborând până la $n - k$ . Produsul trebuie oprit la $n - k + 1$ , altfel rezultatul iese înmulțit în plus cu un factor.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $A_{6}^{2}$ .
- a) $30$
- b) $15$
- c) $720$
- d) $36$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $30$

$A_{6}^{2} = 6 \cdot 5 = 30$ — exact $2$ factori, începând de la $6$ .
Calculați $A_{8}^{3}$ .
- a) $56$
- b) $336$
- c) $512$
- d) $40320$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $336$

$A_{8}^{3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ — exact $3$ factori.
Rezolvați în $N$ , $n \geq 2$ , ecuația $A_{n}^{2} = 56$ .
- a) $n = - 7$
- b) $n = 7$
- c) $n = 8$
- d) $n = 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $n = 8$

$A_{n}^{2} = n (n - 1) = 56$ , deci $n^{2} - n - 56 = 0$ , cu $Δ = 1 + 224 = 225 = 1 5^{2}$ și $n = \frac{1 + 15}{2} = 8$ (respingem $n = - 7$ , negativ). Verificare: $8 \cdot 7 = 56$ ✓.

Întrebări conexe

Ce înseamnă că un aranjament este o submulțime ordonată?

Înseamnă că alegi $k$ elemente diferite dintre cele $n$ și, în plus, hotărăști în ce ordine stau. Două aranjamente cu aceleași elemente, dar așezate altfel, se numără separat. De aceea numărul lor depășește numărul submulțimilor simple, tocmai de $k!$ ori.

Cât face A de 8 luate câte 3?

Scrii trei factori care coboară de la $8$ : $8 \cdot 7 \cdot 6$ . Produsul lor este $336$ . Nu ai nevoie de $8!$ , care trece de patruzeci de mii; numărarea factorilor este și verificarea că ai aplicat corect formula.

Ce soluție are ecuația A de n luate câte 2, egal 56?

Cu doi factori, expresia devine $n (n - 1) = 56$ , adică $n^{2} - n - 56 = 0$ . Discriminantul este $225$ , deci rădăcinile sunt $8$ și $- 7$ . Valoarea negativă se respinge, nefiind număr natural, iar $n = 8$ se verifică: $8 \cdot 7 = 56$ .

De ce sunt permutările un caz particular de aranjamente?

Pentru că, luând $k = n$ , alegi toate elementele și le ordonezi: $A_{n}^{n} = n (n - 1) \dots 1 = n! = P_{n}$ . Aranjamentele acoperă deci și situația în care nu rămâne nimic pe dinafară. Alte valori de reținut sunt $A_{n}^{0} = 1$ și $A_{n}^{1} = n$ .

Ce se schimbă la aranjamente dacă elementele se pot repeta?

Formula nu se mai aplică: la fiecare pas ai din nou toate cele $n$ variante, deci numărul total devine $n^{k}$ . Aranjamentele numără numai alegerile în care un element luat o dată nu mai poate fi ales, iar acolo variantele scad cu una la fiecare pas.

Ce test rapid arată că o problemă cere aranjamente?

Schimbi între ele două dintre elementele alese. Dacă situația devine alta, ordinea contează, deci lucrezi cu aranjamente. Așa se recunosc podiumurile, funcțiile cu roluri diferite sau cifrele unui număr. Dacă situația rămâne aceeași, formula potrivită este cea a combinărilor.

Oamenii mai întreabă și: formula aranjamentelor · aranjamente de n luate câte k · cât face A de 8 luate câte 3 · aranjamente sau combinări · submulțimi ordonate