Formula ariei triunghiului cu două laturi și unghiul dintre ele este:

$$\mathcal{S}=\dfrac12ab\sin C$$

$$\mathcal{S}=\dfrac12(a+b)\sin C$$

$$\mathcal{S}=\dfrac12ab\cos C$$

Cum calculez aria unui triunghi cu sinus?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Aria triunghiului cu formula sinusului

Înmulțești două laturi cu sinusul unghiului cuprins între ele și împarți la doi: $S = \frac{1}{2} ab sin C$ . Nu ai nevoie de nicio înălțime, ceea ce face formula potrivită pentru terenuri. De exemplu, pentru laturile $10$ și $12$ cu un unghi de $3 0^{\circ}$ între ele, aria este $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot 0, 5 = 30$ . Formula merge și la unghiuri obtuze, fiindcă sinusul rămâne pozitiv pe tot intervalul.

Când nu ai o înălțime la îndemână, dar cunoști două laturi și unghiul dintre ele, aria triunghiului se calculează într-o singură linie: $S = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} c a sin B$ . Nu ai nevoie de nicio construcție suplimentară pe teren.

Formula funcționează neschimbat și la unghiuri obtuze, pentru că $sin (18 0^{\circ} - C) = sin C$ ; pentru $C = 9 0^{\circ}$ regăsești semiprodusul catetelor, $S = \frac{ab}{2}$ . Pentru unghiuri care nu sunt $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ sau $6 0^{\circ}$ , sinusul se citește din tabel sau de la un instrument digital, setat pe grade.

O rudă directă: aria paralelogramului cu laturile $x$ , $y$ și unghiul $θ$ dintre ele este $x y sin θ$ — dublul ariei triunghiului corespunzător, fără factorul $\frac{1}{2}$ .

Formula se citește și invers: $h_{a} = \frac{2 S}{a}$ dă o înălțime, iar $sin C = \frac{2 S}{ab}$ dă unghiul, dar cu două soluții posibile (unghiul și suplementul lui). Cu două laturi fixate, aria este maximă la unghi drept, cu valoarea $\frac{ab}{2}$ . Greșelile frecvente: unghiul luat greșit (trebuie să fie cel dintre laturile folosite, nu opus vreuneia), uitarea lui $\frac{1}{2}$ și calculatorul lăsat pe radiani.

De reținut

$S = \frac{1}{2} ab sin C$
paralelogram: $x y sin θ$ , fără $\frac{1}{2}$
$h_{a} = \frac{2 S}{a}$

Greșeala tipică

Se folosește un unghi care nu este cuprins între cele două laturi înmulțite. Formula cere exact unghiul dintre ele, altfel produsul nu are legătură cu suprafața cerută.

Exerciții din această mini-lecție

Formula ariei triunghiului cu două laturi și unghiul dintre ele este:
- a) $S = \frac{1}{2} ab sin C$
- b) $S = \frac{1}{2} (a + b) sin C$
- c) $S = \frac{1}{2} ab cos C$
- d) $S = ab sin C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $S = \frac{1}{2} ab sin C$

Jumătate din produsul celor două laturi, înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.
Aria paralelogramului cu laturile $x$ , $y$ și unghiul $θ$ dintre ele este:
- a) $x y cos θ$
- b) $x y sin θ$
- c) $\frac{1}{2} x y sin θ$
- d) $2 x y sin θ$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x y sin θ$

Paralelogramul se compune din două triunghiuri congruente de arie $\frac{1}{2} x y sin θ$ fiecare, deci aria totală este $x y sin θ$ , fără $\frac{1}{2}$ .
Pentru două laturi $a$ și $b$ fixate, aria triunghiului dintre ele este maximă atunci când unghiul este:
- a) $3 0^{\circ}$
- b) $18 0^{\circ}$
- c) $9 0^{\circ}$
- d) $6 0^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $9 0^{\circ}$

$sin C$ este maxim ( $= 1$ ) la $C = 9 0^{\circ}$ , deci aria maximă este $\frac{ab}{2}$ .

Întrebări conexe

Ce formulă are aria unui paralelogram cu două laturi și unghiul dintre ele?

Este $x y sin θ$ , adică dublul ariei triunghiului format de aceleași două laturi. Diagonala taie paralelogramul în două triunghiuri de arii egale, așa că factorul $\frac{1}{2}$ dispare. Confuzia dintre cele două formule schimbă rezultatul exact de două ori.

Ce fac dacă știu trei laturi, dar niciun unghi?

Formula cu sinus nu se poate aplica direct. Ai două drumuri: ori scoți un unghi din teorema cosinusului, ca să folosești apoi semiprodusul laturilor înmulțit cu sinusul lui, ori treci de-a dreptul la formula lui Heron, care lucrează numai cu laturile și cu semiperimetrul. Al doilea drum este mai scurt.

Cum aflu o înălțime a triunghiului pornind de la aria lui?

Citești invers formula clasică: $h_{a} = \frac{2 S}{a}$ . Cu aria aflată prin sinus obții astfel orice înălțime fără construcție. Se observă și o regulă utilă: laturii celei mai lungi îi corespunde cea mai scurtă înălțime.

De ce formula ariei cu sinus dă semiprodusul catetelor la unghi drept?

Fiindcă $sin 9 0^{\circ} = 1$ , iar produsul $\frac{1}{2} ab sin C$ se reduce la $\frac{ab}{2}$ . Într-un triunghi dreptunghic o catetă joacă rolul de înălțime pentru cealaltă, deci formula generală se potrivește cu cea învățată în gimnaziu.

Ce se întâmplă cu aria dacă dublez una dintre laturi?

Se dublează și ea, fiindcă latura intră liniar în formulă. Dacă dublezi amândouă laturile, aria se face de patru ori mai mare. Unghiul dintre ele rămâne neschimbat, deci sinusul nu aduce nicio corectură.

Ce date îmi trebuie ca să pot folosi formula ariei cu sinus?

Două laturi și unghiul cuprins între ele. Dacă unghiul dat nu este cuprins între laturile cunoscute, îl afli întâi prin teorema sinusurilor sau a cosinusului. Cu trei laturi și niciun unghi, formula potrivită este cea a lui Heron.

Oamenii mai întreabă și: aria triunghiului cu sinus · aria unui triunghi cu două laturi și unghiul dintre ele · formula ariei cu sinusul unghiului · aria unui teren triunghiular fără înălțime · o doime din ab sinus C