Formula lui Heron pentru aria unui triunghi este:

$$\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

$$\mathcal{S}=\dfrac{a+b+c}{2}$$

$$\mathcal{S}=p(p-a)(p-b)(p-c)$$

Dacă produsul $$p(p-a)(p-b)(p-c)$$ iese negativ, aceasta înseamnă că:

am greșit doar semnul; se ia valoarea absolută

Ce spune formula lui Heron?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Aria triunghiului: formula lui Heron

Ea dă suprafața unui triunghi pornind numai de la lungimile laturilor: $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ , unde $p$ este jumătate din perimetru. De exemplu, pentru $6$ , $8$ și $10$ ai $p = 12$ , iar produsul $12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 576$ are radicalul $24$ . Niciun unghi nu intră în calcul. Dacă produsul de sub radical iese negativ, lungimile date nu pot închide o figură, deci formula își verifică singură datele.

Trei laturi determină complet un triunghi, deci și aria lui trebuie să se poată calcula doar din cele trei numere, fără niciun unghi. Formula care face asta se numește formula lui Heron: $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ , unde $p = \frac{a + b + c}{2}$ este semiperimetrul.

O verificare gratuită a diferențelor: $(p - a) + (p - b) + (p - c) = p$ . Dacă produsul de sub radical iese negativ, triunghiul cu acele laturi nu există — formula își testează singură datele, la fel cum face inegalitatea triunghiului.

Din arie se poate obține orice înălțime, cu $h_{a} = \frac{2 S}{a}$ : cea mai lungă latură are întotdeauna cea mai scurtă înălțime corespunzătoare. Natura triunghiului (ascuțitunghic, dreptunghic, obtuzunghic) se citește tot din laturi, comparând pătratul celei mai mari cu suma celorlalte două pătrate — exact criteriul din lecția anterioară.

Greșeli frecvente: folosirea perimetrului în loc de semiperimetru la numărător (umflă rezultatul), „corectarea” unui radical negativ (semnalează, de fapt, că triunghiul nu există), rotunjirea prematură a factorilor individuali și alegerea formulei lui Heron acolo unde alta e mai scurtă (de exemplu, când triunghiul e dreptunghic sau ai deja un unghi).

De reținut

$p = \frac{a + b + c}{2}$
$S = p (p - a) (p - b) (p - c)$
$(p - a) + (p - b) + (p - c) = p$

Greșeala tipică

Se pune perimetrul întreg în locul lui $p$ , iar aria iese mult prea mare. Litera $p$ înseamnă jumătate din suma laturilor, deci împărțirea la doi se face înaintea oricărei scăderi.

Exerciții din această mini-lecție

Formula lui Heron pentru aria unui triunghi este:
- a) $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$
- b) $S = p ab c$
- c) $S = \frac{a + b + c}{2}$
- d) $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$

Aria este rădăcina pătrată a produsului semiperimetrului cu cele trei diferențe față de laturi.
Semiperimetrul unui triunghi cu laturile $6$ , $8$ , $10$ este:
- a) $8$
- b) $12$
- c) $10$
- d) $24$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $12$

$p = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12$ .
Dacă produsul $p (p - a) (p - b) (p - c)$ iese negativ, aceasta înseamnă că:
- a) triunghiul este obtuzunghic
- b) triunghiul este echilateral
- c) triunghiul nu există
- d) am greșit doar semnul; se ia valoarea absolută
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) triunghiul nu există

Un produs negativ sub radical arată că laturile date nu respectă inegalitatea triunghiului — nu se poate forma niciun triunghi.

Întrebări conexe

Ce este semiperimetrul unui triunghi?

Este jumătate din suma celor trei laturi, notată de obicei cu $p$ . Pentru laturile $5$ , $6$ și $7$ obții $p = \frac{18}{2} = 9$ . Valoarea aceasta intră în toate cele patru paranteze ale formulei, deci o greșeală la ea strică întregul rezultat.

Cum se scurtează calculul dacă laturile sunt numere mari?

Se descompun în factori primi cele patru numere de sub radical și se scot perechile în afara lui, înainte de a înmulți. Astfel se lucrează cu numere mici, iar rezultatul iese direct în forma cea mai simplă, cu radical restrâns.

Ce se întâmplă cu aria dacă dublez toate laturile?

Se face de patru ori mai mare. Semiperimetrul și fiecare diferență din formulă se dublează, deci produsul de sub radical crește de șaisprezece ori, iar radicalul lui de patru. Regula ține la orice figură, nu doar la triunghi.

Ce verificare rapidă am pentru cele trei diferențe din formula lui Heron?

Adunate, ele trebuie să dea exact $p$ . Într-adevăr, suma lor este $3 p - (a + b + c) = 3 p - 2 p = p$ . Controlul acesta costă o secundă și prinde atât o greșeală la semiperimetru, cât și una la o scădere.

De ce se confundă des semiperimetrul cu perimetrul?

Fiindcă enunțul dă direct laturile, iar reflexul este să le aduni și să treci mai departe. Uitarea împărțirii la doi schimbă toate cele patru paranteze deodată, deci rezultatul iese mult prea mare, fără ca vreun pas să pară greșit.

Când aleg formula lui Heron și când formula cu sinus?

Heron se potrivește când ai numai lungimi, iar formula cu sinus când ai două laturi și unghiul cuprins între ele. Dacă datele conțin un unghi, drumul cu sinus e mai scurt; dacă nu conțin niciunul, radicalul lui Heron rezolvă totul dintr-un pas.

Oamenii mai întreabă și: formula lui Heron · aria triunghiului din trei laturi · teorema lui Heron pentru arie · aria cu semiperimetru · aria unui triunghi fără înălțime