Cum dezvolt un binom la puterea n?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Binomul lui Newton

Scrii termenii în ordine, coborând exponentul primului element de la $n$ la $0$ și urcându-l pe al doilea de la $0$ la $n$ , iar în fața fiecăruia pui coeficientul binomial potrivit: $(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + \dots + C_{n}^{n} b^{n}$ . Coeficienții sunt chiar rândul $n$ din triunghiul lui Pascal. Astfel $(x + 1)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ . Dezvoltarea are $n + 1$ termeni, iar în fiecare suma exponenților este $n$ .

Binomul lui Newton: pentru orice $a, b$ și $n \geq 1$ natural, $(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots + C_{n}^{n} b^{n} .$ Coeficienții sunt exact linia $n$ a triunghiului lui Pascal, pentru că, desfăcând cele $n$ paranteze $(a + b) (a + b) \dots (a + b)$ , termenul $a^{n - k} b^{k}$ apare de câte ori poți alege cele $k$ paranteze din care iei $b$ — adică de $C_{n}^{k}$ ori.

Structura: dezvoltarea are $n + 1$ termeni, nu $n$ ; exponentul lui $a$ coboară de la $n$ la $0$ , cel al lui $b$ urcă de la $0$ la $n$ ; în fiecare termen, suma exponenților este $n$ . Programa de trunchi comun limitează exponentul la cel mult $5$ : $(a + b)^{1} = a + b$ , până la $(a + b)^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$ .

La $(a - b)^{n}$ nu există o formulă separată: scrii $a - b = a + (- b)$ , iar semnele alternează, începând cu plus — ultimul termen e negativ la exponent impar, pozitiv la exponent par. Când $a$ sau $b$ au coeficienți (de exemplu $2 x$ ), îi pui în paranteze și ridici la putere paranteza întreagă — greșeala clasică este să ridici la putere doar variabila. Verificarea rapidă: pentru $x = 1$ , suma tuturor termenilor trebuie să dea valoarea polinomului în $1$ .

De reținut

$(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$
dezvoltarea are $n + 1$ termeni
$(a - b)^{n}$ : semnele alternează, începând cu plus

Greșeala tipică

Se numără $n$ termeni în loc de $n + 1$ . Exponentul celui de-al doilea element ia toate valorile de la $0$ la $n$ , adică $n + 1$ valori diferite.

Exerciții din această mini-lecție

Care sunt coeficienții dezvoltării $(x + 1)^{3}$ ?
- a) $1, 3, 3, 1$
- b) $1, 3, 1$
- c) $3, 3$
- d) $1, 2, 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $1, 3, 3, 1$

Coeficienții dezvoltării lui $(a + b)^{n}$ sunt linia $n$ a triunghiului lui Pascal; pentru $n = 3$ , linia este $1, 3, 3, 1$ , deci $(x + 1)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ .
Calculați suma coeficienților dezvoltării $(x + 3)^{4}$ .
- a) $81$
- b) $256$
- c) $16$
- d) $625$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $256$

Suma coeficienților unui polinom se obține punând $x = 1$ : $(1 + 3)^{4} = 4^{4} = 256$ .
Care este semnul ultimului termen al dezvoltării $(x - 1)^{5}$ ?
- a) depinde de $x$
- b) pozitiv, $1$
- c) negativ, $(- 1)^{5} = - 1$
- d) nu există ultim termen
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) negativ, $(- 1)^{5} = - 1$

La $(a - b)^{n}$ semnele alternează prin $(- 1)^{k}$ ; ultimul termen corespunde lui $k = n = 5$ (impar), deci semnul este negativ: $(- 1)^{5} b^{5} = - 1$ .

Întrebări conexe

Ce coeficienți are dezvoltarea lui x plus 1, la puterea a treia?

Sunt numerele de pe rândul $3$ al triunghiului lui Pascal: $1$ , $3$ , $3$ , $1$ . Dezvoltarea este așadar $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ . Se observă simetria coeficienților, care apare la orice exponent și ajută la verificarea rapidă a scrierii.

Cât este suma coeficienților dezvoltării lui x plus 3, la puterea a patra?

Suma coeficienților oricărui polinom se obține punând variabila egală cu $1$ . Aici rezultă $(1 + 3)^{4} = 4^{4} = 256$ . Atenție: aceasta nu este suma coeficienților binomiali, care ar fi $2^{4} = 16$ , fiindcă în calcul intră și numărul $3$ .

Ce semn are ultimul termen al dezvoltării lui x minus 1, la puterea a cincea?

Semnele alternează, începând cu plus, iar ultimul termen corespunde exponentului $5$ al celui de-al doilea element. Cum $(- 1)^{5} = - 1$ , semnul este negativ. La un exponent par, ultimul termen ar fi ieșit pozitiv.

Cât este coeficientul lui x pătrat în dezvoltarea lui x plus 2, la puterea a treia?

Termenul cu $x^{2}$ are coeficientul binomial $C_{3}^{1} = 3$ , înmulțit cu $2$ la puterea întâi, deci $3 \cdot 2 = 6$ . Dezvoltarea completă este $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ , iar suma coeficienților ei, $27$ , se potrivește cu $(1 + 2)^{3}$ .

Cât este suma coeficienților dezvoltării lui a minus b, la puterea a patra?

Pui amândouă literele egale cu $1$ și obții $(1 - 1)^{4} = 0$ . Într-adevăr, coeficienții sunt $1$ , $- 4$ , $6$ , $- 4$ , $1$ , iar suma lor se anulează. Rezultatul este același pentru orice exponent mai mare sau egal cu unu.

Cât este suma exponenților în fiecare termen al dezvoltării?

Este mereu $n$ , adică exponentul binomului. Ce pierde primul element câștigă al doilea, deci $a^{n - k} b^{k}$ are exponenții însumând $n - k + k = n$ . Controlul acesta prinde imediat un termen scris greșit, înainte de orice alt calcul.

Oamenii mai întreabă și: binomul lui Newton · formula de dezvoltare a unui binom · câți termeni are dezvoltarea · dezvoltarea lui a minus b la puterea n · coeficienți binomiali în dezvoltare