Ce alege semnul lui $$\cos x$$ atunci când se cunoaște doar $$\sin^2 x$$?

Cadranul în care se află $$x$$

Forma cea mai simplă a rezultatului

Valoarea lui $$\operatorname{tg} x$$

Care este formula corectă obținută din $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$ prin împărțire la $$\cos^2 x$$?

$$1+\operatorname{tg}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}$$

$$1+\operatorname{tg}^2 x=\dfrac{1}{\sin^2 x}$$

$$1-\operatorname{tg}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}$$

$$1+\operatorname{tg}^2 x=\cos^2 x$$

Cum aflu cosinusul dacă știu sinusul?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Calculul unei funcții din alta funcție

Folosești formula fundamentală: pătratul cosinusului este unu minus pătratul sinusului. Extragi radicalul, dar rezultatul iese cu două semne, iar cadranul din enunț decide care se păstrează. Dacă sinusul este $\frac{3}{5}$ și unghiul se află în cadranul al doilea, atunci cosinusul este $- \frac{4}{5}$ . Fără cadran, răspunsul rămâne scris cu plus sau minus.

Cel mai frecvent tip de exercițiu de trigonometrie cere: cunoscând una dintre valorile $sin x$ , $cos x$ sau $tg x$ și cadranul lui $x$ , să le aflăm pe celelalte. Unealta de bază este formula fundamentală $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ , din care se extrage $cos x = \pm 1 - sin^{2} x$ sau $sin x = \pm 1 - cos^{2} x$ . Radicalul dă doar valoarea absolută; semnul se alege obligatoriu după cadranul dat în enunț, conform tabelului: I $(+, +, +)$ , II $(+, -, -)$ , III $(-, -, +)$ , IV $(-, +, -)$ pentru $(sin, cos, tg)$ . Când se cunoaște tangenta, se folosește identitatea $1 + tg^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$ , obținută împărțind formula fundamentală la $cos^{2} x$ ; de aici $cos x = \pm \frac{1}{1 + tg ^{2} x}$ , iar sinusul rezultă din $sin x = tg x \cdot cos x$ . Rețeta în patru pași: se notează semnele din cadran, se aplică formula fundamentală, se pune semnul corect, apoi se calculează și se verifică tangenta. Un control util: sinusul și cosinusul sunt mereu în $[- 1, 1]$ , deci valori precum $sin x = \frac{5}{4}$ sunt imposibile; tangenta, fiind un raport, poate lua orice valoare reală. În exercițiile compuse, se reduce mai întâi simbolic expresia cu formulele unității, iar abia apoi se înlocuiesc valorile numerice găsite.

De reținut

$cos x = \pm 1 - sin^{2} x$ ; semnul îl dă cadranul
$1 + tg^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$
$sin x = tg x \cdot cos x$

Greșeala tipică

Se ia mereu semnul plus după extragerea radicalului, indiferent de cadran; scrie întâi semnele celor trei funcții pe cadranul dat, apoi alege rezultatul potrivit.

Exerciții din această mini-lecție

Se știe că $sin x = \frac{3}{5}$ și $x$ este în cadranul II. Cât este $cos x$ ?
- a) $\frac{4}{5}$
- b) $- \frac{4}{5}$
- c) $\frac{3}{4}$
- d) $- \frac{3}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- \frac{4}{5}$

Din formula fundamentală, $cos^{2} x = 1 - (\frac{3}{5})^{2} = \frac{16}{25}$ , deci $∣ cos x ∣ = \frac{4}{5}$ . În cadranul II cosinusul este negativ, deci $cos x = - \frac{4}{5}$ .
Ce alege semnul lui $cos x$ atunci când se cunoaște doar $sin^{2} x$ ?
- a) Forma cea mai simplă a rezultatului
- b) Cadranul în care se află $x$
- c) Semnul lui $sin x$
- d) Valoarea lui $tg x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Cadranul în care se află $x$

Formula fundamentală dă doar valoarea absolută $∣ cos x ∣$ , pentru că pe cerc există două puncte cu același sinus (simetrice față de axa $O y$ ). Semnul corect se decide exclusiv din cadranul precizat în enunț.
Care este formula corectă obținută din $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ prin împărțire la $cos^{2} x$ ?
- a) $1 + tg^{2} x = \frac{1}{sin ^{2} x}$
- b) $1 + tg^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$
- c) $1 - tg^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$
- d) $1 + tg^{2} x = cos^{2} x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $1 + tg^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$

Împărțind $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ la $cos^{2} x$ obținem $\frac{sin ^{2} x}{cos ^{2} x} + 1 = \frac{1}{cos ^{2} x}$ , adică $1 + tg^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$ . Verificare pe $x = 4 5^{\circ}$ : $1 + 1 = 2$ și $\frac{1}{c o s ^{2} 4 5 ^{\circ}} = \frac{1}{1/2} = 2$ ✓.

Întrebări conexe

Cum aflu tangenta dacă știu sinusul și cosinusul?

Împarți sinusul la cosinus, cu grija ca numitorul să nu fie zero. Semnul rezultatului trebuie să se potrivească cu regula de pe cadran: pozitiv în I și III, negativ în II și IV. Este și un control bun pentru calculele făcute înainte.

Cât este cosinusul dacă sinusul este 3 supra 5 în cadranul al doilea?

Din formula fundamentală, pătratul cosinusului iese $\frac{16}{25}$ , deci valoarea absolută este $\frac{4}{5}$ . În al doilea cadran cosinusul este negativ, așa că rezultatul este $- \frac{4}{5}$ . Tangenta iese atunci $- \frac{3}{4}$ .

Ce formulă leagă cotangenta de sinus?

Împărțind formula fundamentală la pătratul sinusului obții că unu plus pătratul cotangentei este egal cu inversul pătratului sinusului. Relația se folosește când enunțul dă cotangenta și se cere sinusul. Ea are sens doar acolo unde sinusul nu se anulează.

Cum calculez sinusul dacă știu cotangenta?

Folosești relația dintre cotangentă și sinus, scoți pătratul sinusului și extragi radicalul, apoi pui semnul cerut de cadran. Cosinusul iese apoi înmulțind sinusul cu cotangenta. Verifici la final că perechea respectă formula fundamentală.

Cum verific dacă valorile găsite pentru sinus și cosinus sunt posibile?

Aduni pătratele lor: rezultatul trebuie să fie exact unu. În plus, fiecare valoare trebuie să se afle între minus unu și unu, iar semnele trebuie să se potrivească cu cadranul. Un sinus egal cu $\frac{5}{4}$ este imposibil de la prima privire.

Oamenii mai întreabă și: cum aflu cos dacă știu sin · calculul cosinusului din sinus · dacă sinusul este 3 supra 5, cât e cosinusul · aflarea unei funcții trigonometrice din alta