Ce condiție pun la numitorul unei funcții?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Câtul a două funcții

Numitorul nu are voie să se anuleze, deci scoți din domeniu toate numerele care îl anulează. Pentru $\frac{x - 6}{x + 3}$ rezolvi $x + 3 = 0$ și obții valoarea interzisă $- 3$ , deci domeniul este $R ∖ {- 3}$ . Împărțirea este singura operație care strică domeniul: suma, diferența și produsul nu cer nimic în plus.

Funcția cât $(\frac{f}{g}) (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )}$ este definită pe mulțimea $D_{f / g} = {x \in D ∣ g (x) \neq = 0}$ : spre deosebire de sumă, diferență și produs, împărțirea este singura operație care strică domeniul. Valorile care anulează numitorul se numesc valori interzise și se scot din domeniu — rezultatul devine, în general, o reuniune de intervale.

Zerourile câtului vin numai din numărător: $\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 ⟺ f (x) = 0$ și $g (x) \neq = 0$ . Numitorul nu produce niciodată zerouri, doar valori interzise.

Semnul unui cât se stabilește cu aceeași regulă a semnelor ca la produs, într-un tabel cu trei linii; singura deosebire de notație este că, în dreptul valorii interzise, se pune o bară dublă — acolo funcția își poate schimba semnul fără să treacă prin zero, pentru că pur și simplu nu există.

Dacă numărătorul și numitorul au un zero comun, fracția se simplifică, dar domeniul se stabilește pe forma dată, înainte de simplificare: graficul are doar o „gaură" în acel punct, nu o ruptură — valorile din jur se comportă liniștit, spre deosebire de cazul în care valoarea interzisă rămâne și după simplificare.

De reținut

domeniul câtului scoate rădăcinile numitorului
fracția se anulează doar din numărător
domeniul se stabilește înainte de simplificare

Greșeala tipică

Se simplifică fracția și abia apoi se scrie domeniul, iar valoarea interzisă dispare din răspuns; condițiile se citesc pe forma dată în enunț, nu pe cea simplificată.

Exerciții din această mini-lecție

Determinați domeniul de definiție al funcției $h (x) = \frac{x - 6}{x + 3}$ .
- a) $R ∖ {- 3}$
- b) $R ∖ {6}$
- c) $R ∖ {3}$
- d) $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $R ∖ {- 3}$

Valoarea interzisă se obține din numitor: $x + 3 = 0$ , deci $x = - 3$ . Domeniul este $D = R ∖ {- 3}$ .
Determinați zeroul funcției $h (x) = \frac{2 x + 8}{x - 5}$ .
- a) $x = - 4$
- b) $x = 5$
- c) $x = 4$
- d) $x = - 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = - 4$

Zeroul câtului vine din numărător: $2 x + 8 = 0$ , deci $x = - 4$ . Cum $- 4 \neq = 5$ , valoarea aparține domeniului, deci este singurul zero al lui $h$ .
Pe ce interval este negativă funcția $h (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ ?
- a) $(- 2, 1)$
- b) $(- \infty, - 2)$
- c) $(1, \infty)$
- d) $(- \infty, - 2) \cup (1, \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(- 2, 1)$

Punctele importante sunt $- 2$ (valoare interzisă) și $1$ (zero). Pe $(- 2, 1)$ numărătorul e negativ și numitorul pozitiv, deci câtul e negativ — verificare: $h (0) = \frac{- 1}{2} < 0$ . Pe $(- \infty, - 2)$ și $(1, \infty)$ ambele expresii au același semn, deci câtul e pozitiv.

Întrebări conexe

Ce valoare nu poate lua x în funcția unu supra x minus 3?

Numărul $3$ , fiindcă acolo numitorul se anulează, iar împărțirea la zero nu are sens. Domeniul este $R ∖ {3}$ . În jurul acelei valori funcția o ia razna: valorile cresc peste orice prag pe o parte și coboară sub orice prag pe cealaltă.

Cum arată graficul funcției unu supra x?

Are două ramuri, una în primul cadran și una în al treilea, care se apropie de axe fără să le atingă. Axa verticală și cea orizontală sunt asimptote. Funcția este impară, deci cele două ramuri se obțin una din alta prin simetrie față de origine.

Cum scot valorile interzise dintr-un domeniu cu radical și fracție?

Scrii toate condițiile deodată: expresia de sub radicalul de ordin par nenegativă și numitorul nenul. Rezolvi fiecare condiție separat, apoi iei partea comună a mulțimilor obținute. Din intersecție ștergi la final numerele care anulează numitorul.

De ce nu am voie să înmulțesc o inecuație cu numitorul?

Fiindcă nu îi știi semnul: dacă numitorul este negativ, sensul inegalității se schimbă, iar dacă este pozitiv, rămâne la fel. Cum semnul depinde de variabilă, ai obține un rezultat greșit. Metoda corectă este tabelul de semn pentru întreaga fracție.

Unde apare câtul a două funcții într-o problemă cu viteza medie?

Viteza medie este raportul dintre distanța totală și timpul total, deci apare o fracție cu variabilă la numitor. Timpul nu poate fi zero, ceea ce dă chiar condiția de domeniu. La fel se calculează costul pe participant sau consumul mediu.

Oamenii mai întreabă și: valori interzise la numitor · domeniul unei funcții raționale · de ce numitorul nu poate fi zero · câtul a două funcții și domeniul lui