Ce sunt cazurile favorabile și posibile?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Cazuri favorabile prin combinatorică

Cazurile posibile sunt toate rezultatele experimentului, iar cele favorabile sunt rezultatele care îndeplinesc condiția din enunț; probabilitatea este raportul lor. Când mulțimile sunt mari, ambele se numără cu permutări, aranjamente sau combinări. Regula care nu se încalcă niciodată: numărătorul și numitorul se socotesc după același model, ambele ordonat sau ambele neordonat. Dintr-o grupă cu $6$ fete și $4$ băieți, numărul echipelor cu două fete și un băiat este $C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{1} = 60$ .

Când mulțimea rezultatelor e prea mare pentru liste sau arbori, cazurile favorabile și cele posibile se numără cu permutări $P_{n} = n!$ , aranjamente $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ și combinări $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ . Alegerea instrumentului se face cu două întrebări: contează ordinea? (da $\to$ $A_{n}^{k}$ sau $P_{n}$ ; nu $\to$ $C_{n}^{k}$ ) și se repetă elementele?

Regula de aur, valabilă în tot capitolul: cazurile favorabile și cele posibile se numără în același model — ambele ordonat, sau ambele neordonat. Amestecul (de exemplu $C_{4}^{2}$ la numărător și $A_{7}^{2}$ la numitor) dă rezultate false.

Tiparul cel mai frecvent: dintr-o urnă cu $a$ obiecte de un fel și $b$ de alt fel, se extrag simultan $n$ obiecte. Numărul cazurilor cu exact $k$ obiecte din primul fel este $C_{a}^{k} \cdot C_{b}^{n - k}$ , iar cazurile posibile sunt $C_{a + b}^{n}$ ; se aplică regula produsului, pentru că alegerile din cele două categorii sunt independente. La probleme cu poziții (cifre, litere, locuri) ordinea contează, deci se lucrează cu aranjamente sau permutări.

Control obligatoriu: rezultatul între $0$ și $1$ ; suma probabilităților tuturor compozițiilor disjuncte trebuie să dea $1$ ; iar formula se poate verifica pe un caz mic, numărat de mână.

De reținut

$P_{n} = n!$ , $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ , $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$
numeri la fel sus și jos
urnă cu două culori: $\frac{C _{a}^{k} C _{b}^{n - k}}{C _{a + b}^{n}}$

Greșeala tipică

Se amestecă modelele de numărare, de pildă combinări la numărător și aranjamente la numitor. Alege de la început dacă lucrezi ordonat sau neordonat și păstrează aceeași alegere în ambele etaje ale fracției.

Exerciții din această mini-lecție

O urnă conține $6$ bile roșii și $4$ bile albastre. Se extrag simultan $3$ bile. Care este numărul cazurilor posibile?
- a) $120$
- b) $720$
- c) $210$
- d) $100$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $120$

Extragerea simultană nu ține cont de ordine, deci se folosesc combinări: $C_{10}^{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 120$ . Varianta b) ar corespunde aranjamentului $A_{10}^{3} = 720$ (greșit, pentru că ordinea nu contează la o extragere simultană); c) și d) provin din combinări calculate greșit.
Pentru aceeași urnă ( $6$ roșii, $4$ albastre), din care se extrag simultan $3$ bile, care este probabilitatea ca toate trei să fie roșii?
- a) $\frac{1}{6}$
- b) $\frac{1}{4}$
- c) $\frac{1}{5}$
- d) $\frac{3}{10}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{1}{6}$

Cazuri favorabile: $C_{6}^{3} = 20$ ; cazuri posibile: $C_{10}^{3} = 120$ (calculat la exercițiul anterior). $P = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$ . Variantele b), c) și d) provin din combinări calculate greșit sau din amestecarea modelului ordonat cu cel neordonat.
Se formează numere de două cifre distincte cu cifre din mulțimea ${1, 2, 3, 4, 6}$ . Se alege unul la întâmplare. Care este probabilitatea ca numărul să fie par?
- a) $\frac{3}{5}$
- b) $\frac{2}{5}$
- c) $\frac{1}{2}$
- d) $\frac{3}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{3}{5}$

Cazuri posibile: $A_{5}^{2} = 5 \cdot 4 = 20$ . Numărul e par dacă cifra unităților e $2$ , $4$ sau $6$ ( $3$ variante), iar cifra zecilor se alege din celelalte $4$ cifre rămase: $3 \cdot 4 = 12$ cazuri favorabile. $P = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ . Atenție: mulțimea ${1, 2, 3, 4, 6}$ are trei cifre pare, nu două — de aceea varianta b) e o greșeală frecventă.

Întrebări conexe

Ce formulă are numărul de aranjamente?

Se scrie $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ și numără câte grupe ordonate de $k$ elemente se pot forma din $n$ obiecte diferite. Legătura cu combinările este $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$ : fiecare grupă neordonată se poate rearanja în $k!$ feluri.

Ce înseamnă că elementele se pot repeta la o numărare?

Înseamnă că același obiect poate fi ales de mai multe ori, ca la extragerea cu revenire sau la formarea unui cod din cifre. Atunci numărul de variante este $n^{k}$ , iar formulele cu factorial, care presupun elemente distincte, nu se aplică.

Când folosesc permutări într-o problemă de probabilități?

Când toate obiectele intră în aranjare și contează ordinea lor: așezarea a $n$ persoane pe $n$ scaune dă $n!$ variante. Dacă alegi doar o parte din obiecte și ordinea contează, treci la aranjamente, nu la permutări.

Ce diferență este între „exact două fete” și „cel puțin două fete”?

Prima cerință numără o singură compoziție a grupului, cu două fete și restul băieți. A doua adună mai multe compoziții: două fete, trei fete și tot așa. De obicei se calculează mai repede prin evenimentul contrar.

Cum număr cazurile la o problemă cu cifre distincte?

Ordinea contează, deci folosești aranjamente sau regula produsului, cu grijă la prima poziție, care nu poate fi zero. Pentru numere de trei cifre distincte ai $9$ variante la sute, apoi $9$ și $8$ , deci $648$ de numere.

Ce sumă trebuie să dea probabilitățile tuturor compozițiilor?

Exact $1$ , fiindcă acele evenimente sunt disjuncte și acoperă toate rezultatele posibile. Verificarea aceasta prinde imediat un termen uitat sau o combinare calculată greșit, mai ales la problemele cu urne și două culori.

Oamenii mai întreabă și: cazuri favorabile și cazuri posibile · numărarea cu combinări la probabilități · cum număr cazurile la o problemă cu urne · combinări sau aranjamente la probabilități