Ce înseamnă notația ℝ[X]?

Notează mulțimea polinoamelor a căror nedeterminată este X și ai căror coeficienți sunt numere reale. Analog, ℤ[X] cere coeficienți întregi, iar ℂ[X] îi acceptă complecși; între ele există lanțul de incluziuni ℤ[X]⊂ ℚ[X]⊂ ℝ[X]⊂ ℂ[X].

Ce este un polinom și cum îi afli gradul?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Ce este un polinom. Gradul

Un polinom este o expresie de forma $f = a_{n} X^{n} + \dots + a_{1} X + a_{0}$ , în care coeficienții pot fi orice numere complexe, dar exponenții trebuie să fie numere naturale. Gradul lui este cel mai mare exponent al cărui coeficient nu este zero. La $f = 5 X^{3} - 2 X + 7$ gradul este $3$ , chiar dacă termenul în $X^{2}$ lipsește: coeficientul lui există și valorează $0$ . Polinomul nul face excepție și nu primește niciun grad.

Un polinom cu coeficienți complecși este o expresie $f = a_{n} X^{n} + \dots + a_{1} X + a_{0}$ , cu $a_{0}, \dots, a_{n} \in C$ și exponenți numere naturale; mulțimea lor se notează $C [X]$ . Nedeterminata $X$ nu este un număr, ci un simbol care marchează poziția în lista de coeficienți — un polinom este, în esență, o listă finită de numere. $a_{0}$ este termenul liber, iar coeficientul nenul de rang maxim este coeficientul dominant; un polinom cu coeficientul dominant $1$ se numește monic.

Gradul unui polinom nenul este cel mai mare exponent cu coeficient nenul. Polinomul nul nu are grad — excepție esențială, de reținut mereu separat de polinoamele de grad $0$ (constantele nenule).

Incluziunile $Z [X] \subset Q [X] \subset R [X] \subset C [X]$ organizează polinoamele după natura coeficienților. Nu sunt polinoame expresiile cu exponent negativ ( $\frac{3}{X} = 3 X^{- 1}$ ), cu radical din nedeterminată ( $X = X^{1/2}$ ) sau cu nedeterminata la exponent ( $2^{X}$ ) — regula: exponenții trebuie să fie naturali, coeficienții pot fi orice numere complexe.

Când coeficientul dominant depinde de un parametru, gradul se determină prin discuție pe cazuri: anulezi coeficienții de sus în jos și verifici de fiecare dată care este primul rămas nenul.

De reținut

exponenți naturali, coeficienți complecși
gradul: cel mai mare rang nenul
polinomul nul nu are grad

Greșeala tipică

Se spune că polinomul nul are gradul $0$ . Gradul $0$ înseamnă o constantă nenulă, în timp ce polinomul nul nu primește niciun grad.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $f = 5 X^{4} - 3 X^{2} + 7$ , care este coeficientul lui $X^{3}$ ?
- a) $0$
- b) $5$
- c) $- 3$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $0$

Monomul în $X^{3}$ lipsește din scriere, deci coeficientul lui este $0$ — un rang „invizibil”, dar existent.
Care dintre expresiile următoare NU este polinom?
- a) $7 X^{3} - 2 X$
- b) $\frac{2}{X} + X^{2}$
- c) $i X^{2} - (3 + i) X$
- d) $- 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{2}{X} + X^{2}$

$\frac{2}{X} = 2 X^{- 1}$ are exponent $- 1$ , nenatural, deci nu e polinom. Celelalte au exponenți naturali, indiferent cât de „complicați” sunt coeficienții.
Ce grad are polinomul constant nenul $f = - 6 i$ ?
- a) nu are grad
- b) $1$
- c) $0$
- d) $- 6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0$

Orice constantă nenulă are gradul $0$ . Doar polinomul nul (constanta $0$ ) nu are grad.

Întrebări conexe

Ce este coeficientul dominant al unui polinom?

Este coeficientul termenului de grad maxim, adică primul număr nenul când scrii polinomul în ordine descrescătoare. La $f = - 3 X^{4} + X - 8$ coeficientul dominant este $- 3$ . El decide gradul produsului a două polinoame și apare la numitor în relațiile dintre rădăcini și coeficienți.

Ce este termenul liber al unui polinom?

Termenul liber este coeficientul $a_{0}$ , cel care nu are nedeterminata alături. Se citește direct ca valoarea polinomului în zero, $f (0) = a_{0}$ . La $f = X^{3} - 2 X^{2} + 5$ termenul liber este $5$ , iar divizorii lui dau lista candidaților pentru rădăcinile întregi.

Ce înseamnă că un polinom este monic?

Un polinom se numește monic atunci când coeficientul dominant este $1$ , ca la $X^{3} - 4 X + 1$ . Forma monică se obține împărțind tot polinomul la coeficientul dominant, iar convenția de a da răspunsul astfel elimină ambiguitatea dintre divizori care diferă printr-o constantă.

Câți coeficienți are un polinom de gradul $n$ ?

Are exact $n + 1$ coeficienți, de la $a_{n}$ până la $a_{0}$ , pentru că se numără și rangul zero. Coeficienții termenilor care lipsesc din scriere există și valorează $0$ ; numărătoarea aceasta e verificarea obligatorie înainte de a completa un tabel Horner.

Ce înseamnă notația $R [X]$ ?

Notează mulțimea polinoamelor a căror nedeterminată este $X$ și ai căror coeficienți sunt numere reale. Analog, $Z [X]$ cere coeficienți întregi, iar $C [X]$ îi acceptă complecși; între ele există lanțul de incluziuni $Z [X] \subset Q [X] \subset R [X] \subset C [X]$ .

Este $2 X^{3}$ un polinom?

Da, pentru că radicalul stă în fața nedeterminatei, deci este coeficient, iar coeficienții au voie să fie orice numere complexe. Nu ar fi polinom $X$ , unde radicalul afectează nedeterminata și dă exponentul $\frac{1}{2}$ , care nu este număr natural.

La ce folosește gradul unui polinom?

Gradul spune dinainte câte rădăcini are polinomul în complex și cât de lung iese calculul. La împărțire, restul rămâne întotdeauna de grad mai mic decât împărțitorul, iar la înmulțire gradele se adună. Un polinom de gradul $3$ are trei rădăcini, numărate cu multiplicitate, deci știi de la început ce cauți.

Oamenii mai întreabă și: ce este un polinom · cum aflu gradul unui polinom · gradul unui polinom · forma algebrică a unui polinom