Sensul trigonometric (pozitiv), pe cercul trigonometric, este:

de la $$B$$ spre $$A$$, prin cadranul I

sensul nu contează, cele două sunt echivalente

Ce este cercul trigonometric?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Cercul trigonometric și punctele M(t)

Este cercul cu centrul în originea reperului și cu raza egală cu unu, având ecuația $x^{2} + y^{2} = 1$ . Pe el se fixează punctul de plecare $(1, 0)$ și sensul pozitiv, cel invers acelor de ceasornic. Fiecărui număr real îi corespunde un punct, obținut parcurgând de la plecare un arc de lungimea acelui număr. O tură completă are $2 π$ , deci punctele se repetă.

Cercul trigonometric este cercul cu centrul în originea $O$ a reperului cartezian, cu raza egală cu $1$ , pe care s-a fixat punctul de plecare $A (1, 0)$ și un sens de parcurgere. Ecuația lui este $x^{2} + y^{2} = 1$ . Alte trei puncte importante, intersecțiile cu axele, sunt $B (0, 1)$ , $A^{'} (- 1, 0)$ și $B^{'} (0, - 1)$ .

Sensul trigonometric (pozitiv) este sensul invers acelor de ceasornic, de la $A$ spre $B$ , prin cadranul I; sensul opus (al acelor de ceas) este sensul negativ.

Pentru un număr real $t$ , punctul asociat $M (t)$ se obține pornind din $A (1, 0)$ și parcurgând pe cerc un arc de lungime $∣ t ∣$ : în sens trigonometric dacă $t > 0$ , în sens orar dacă $t < 0$ . Pe cercul de rază $1$ , lungimea arcului parcurs coincide cu măsura lui în radiani.

Din construcție rezultă periodicitatea: $M (t) = M (t + 2 k π)$ pentru orice $k \in Z$ , deoarece o tură completă are lungimea $2 π$ . Orice număr real oricât de mare se reduce la un reprezentant din $[0, 2 π)$ scăzând (sau adunând, la numere negative) multipli întregi de $2 π$ . După reducere, cadranul se citește comparând cu $\frac{π}{2}$ , $π$ , $\frac{3 π}{2}$ , $2 π$ (cel mai sigur: se transformă în grade).

Există și simetrii utile: $M (t)$ și $M (- t)$ sunt simetrice față de axa $O x$ ; $M (t)$ și $M (π - t)$ sunt simetrice față de axa $O y$ ; $M (t)$ și $M (π + t)$ sunt diametral opuse (simetrice față de $O$ ).

De reținut

ecuația: $x^{2} + y^{2} = 1$ , centrul în $O$ , raza $1$
sensul pozitiv este invers acelor de ceasornic
$M (t) = M (t + 2 k π)$ pentru orice $k$ întreg

Greșeala tipică

Numerele mari se caută direct pe cerc, fără reducere; scade întâi ture complete de $2 π$ până rămâi cu un număr între zero și o tură, apoi citește cadranul.

Exerciții din această mini-lecție

Ecuația cercului trigonometric, în reperul cartezian $x O y$ , este:
- a) $x^{2} + y^{2} = 1$
- b) $x^{2} + y^{2} = R^{2}$
- c) $x + y = 1$
- d) $x^{2} - y^{2} = 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x^{2} + y^{2} = 1$

Cercul trigonometric are centrul în $O$ și raza $1$ , deci pentru orice punct $M (x, y)$ de pe el, $O M = x^{2} + y^{2} = 1$ , adică $x^{2} + y^{2} = 1$ . Varianta b) ar fi ecuația unui cerc de rază oarecare $R$ , nu neapărat $1$ ; c) descrie o dreaptă, nu un cerc; d) este ecuația unei hiperbole.
Sensul trigonometric (pozitiv), pe cercul trigonometric, este:
- a) sensul acelor de ceasornic
- b) sensul invers acelor de ceasornic, de la $A$ spre $B$
- c) de la $B$ spre $A$ , prin cadranul I
- d) sensul nu contează, cele două sunt echivalente
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) sensul invers acelor de ceasornic, de la $A$ spre $B$

Prin convenție, sensul pozitiv (trigonometric) este cel invers acelor de ceasornic, adică de la $A (1, 0)$ spre $B (0, 1)$ , prin cadranul I. Varianta a) descrie exact sensul negativ (acelor de ceasornic); c) descrie parcurgerea în sens opus, de la $B$ spre $A$ prin același cadran I — tot sensul acelor de ceasornic, doar cu punctele schimbate între ele; d) este greșită, pentru că semnul lui $t$ depinde esențial de sensul de parcurgere.
Numărul $t = \frac{25 π}{6}$ are același punct asociat pe cercul trigonometric ca numărul:
- a) $\frac{π}{6}$
- b) $\frac{π}{3}$
- c) $\frac{7 π}{6}$
- d) $\frac{11 π}{6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{π}{6}$

Scădem multipli întregi de $2 π = \frac{12 π}{6}$ : $\frac{25 π}{6} - \frac{24 π}{6} = \frac{π}{6}$ (am scăzut $4 π$ , adică două ture). Deci $M (\frac{25 π}{6}) = M (\frac{π}{6})$ . Celelalte variante ar necesita scăderea unui multiplu de $π$ care nu e și multiplu de $2 π$ , ceea ce ar schimba punctul de pe cerc.

Întrebări conexe

Ce coordonate are punctul asociat lui pi supra 2?

Are coordonatele $(0, 1)$ : un sfert de tură de la plecare urcă exact în vârful cercului. Tot așa, lui $π$ îi corespunde $(- 1, 0)$ , iar lui $\frac{3 π}{2}$ îi corespunde $(0, - 1)$ . Aceste patru puncte sunt intersecțiile cercului cu axele.

Cum se împarte cercul trigonometric în cadrane?

Axele îl taie în patru sferturi, numerotate în sens pozitiv pornind din dreapta sus. Primul cadran ține până la un sfert de tură, al doilea până la jumătate, al treilea până la trei sferturi, iar al patrulea până la tura completă.

Ce lungime are cercul trigonometric?

Are lungimea $2 π$ , adică aproximativ $6, 28$ , fiindcă raza este egală cu unu. De aceea o tură completă corespunde numărului $2 π$ , iar numerele care diferă printr-un multiplu întreg al lui $2 π$ ajung în același punct.

Ce puncte de pe cerc corespund unghiurilor de 0, 90, 180 și 270 de grade?

Sunt, în ordine, $(1, 0)$ , $(0, 1)$ , $(- 1, 0)$ și $(0, - 1)$ . Ele stau pe axe și marchează trecerea dintr-un cadran în altul. În radiani, aceleași puncte corespund numerelor $0$ , $\frac{π}{2}$ , $π$ și $\frac{3 π}{2}$ .

Cum văd pe cerc că sinusul nu trece de 1?

Fiindcă ordonata unui punct aflat pe un cerc de rază unu nu poate ieși din intervalul dintre $- 1$ și $1$ . Punctul cel mai de sus are ordonata unu, cel mai de jos are minus unu, iar restul se află între ele. Același argument merge și pentru abscisă.

Oamenii mai întreabă și: cercul trigonometric explicat · ecuația cercului trigonometric · punct asociat unui număr real · cerc de rază 1 în trigonometrie