Ce condiție dau afixele pentru coliniaritate?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Coliniaritate și perpendicularitate

Trei puncte stau pe aceeași dreaptă exact atunci când raportul $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}$ iese număr real, adică partea lui imaginară se anulează. Se lucrează cu diferențe, nu cu afixele în sine, pentru că diferența $z_{B} - z_{A}$ dă direcția dreptei. De exemplu, pentru $z_{A} = i$ , $z_{B} = 1 + 2 i$ și $z_{C} = 3 + 4 i$ raportul valorează $3$ , deci punctele sunt coliniare. Când raportul iese pur imaginar, dreptele fac unghi drept.

Numărul director al dreptei $A B$ este $z_{B} - z_{A}$ ; el nu e unic, dar orice alt număr director al aceleiași drepte este un multiplu real al lui. Direcțiile se compară prin rapoarte de numere directoare.

Coliniaritate: $A, B, C$ sunt coliniare $⟺ \frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} \in R$ . Paralelism: $A B ∥ C D ⟺ \frac{z _{B} - z _{A}}{z _{D} - z _{C}} \in R^{*}$ . Perpendicularitate: aceleași drepte sunt perpendiculare exact când raportul este pur imaginar.

Regula de aur, într-o propoziție: partea imaginară nulă înseamnă aceeași direcție, partea reală nulă înseamnă direcții perpendiculare. Înmulțirea cu $i$ este „echerul” numerelor complexe — rotește cu $90°$ fără să schimbe lungimea.

Criteriile au și o formă fără împărțire, mai comodă în demonstrații, folosind conjugatul: $(z_{C} - z_{A}) \overline{(z_{B} - z_{A})} \in R$ pentru coliniaritate, respectiv $Re [(z_{B} - z_{A}) \overline{(z_{D} - z_{C})}] = 0$ pentru perpendicularitate. Ambele forme dau exact același răspuns, pentru că $u \overset{v}{ˉ}$ diferă de $\frac{u}{v}$ doar printr-un factor real pozitiv, $∣ v ∣^{2}$ .

Aceste criterii se folosesc adesea „invers”, pentru a afla un parametru necunoscut dintr-o condiție geometrică dată, și se aplică la fel de bine unei configurații de patru puncte: laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale și paralele, iar diagonalele unui pătrat sunt egale și perpendiculare — toate proprietățile se citesc direct din semnul părții reale sau imaginare a unui singur produs cu conjugatul.

De reținut

coliniare $⟺$ raportul e real
perpendiculare $⟺$ raportul e pur imaginar
numărul director al dreptei: $z_{B} - z_{A}$

Greșeala tipică

Se confundă cele două criterii: raportul real înseamnă aceeași direcție, iar raportul pur imaginar înseamnă unghi drept. Testul de memorie e $i$ însuși, care este chiar rotația cu un sfert de tură.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $A (2 + i)$ , $B (5 + 3 i)$ , $C (11 + 7 i)$ , calculați raportul $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}$ .
- a) $3$
- b) $3 i$
- c) $1 + i$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3$

$z_{B} - z_{A} = 3 + 2 i$ și $z_{C} - z_{A} = 9 + 6 i = 3 (3 + 2 i)$ , deci raportul este $3$ , real — punctele sunt coliniare.
Numerele directoare a două drepte sunt $6 + 3 i$ și $10 + 5 i$ . Care este relația dintre drepte?
- a) sunt perpendiculare
- b) sunt paralele
- c) fac un unghi de $45°$
- d) nu au nicio relație specială
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) sunt paralele

$\frac{6 + 3 i}{10 + 5 i} = \frac{3 ( 2 + i )}{5 ( 2 + i )} = \frac{3}{5}$ , real nenul, deci dreptele au aceeași direcție.
Dreptele $A B$ și $C D$ au numerele directoare $z_{B} - z_{A} = 5 + 3 i$ și $z_{D} - z_{C} = - 3 + 5 i$ . Care este relația dintre ele?
- a) coincid
- b) sunt paralele
- c) sunt perpendiculare
- d) nu au nicio relație specială
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) sunt perpendiculare

$\frac{5 + 3 i}{- 3 + 5 i} = \frac{( 5 + 3 i ) ( - 3 - 5 i )}{34} = \frac{- 34 i}{34} = - i$ , pur imaginar, deci dreptele sunt perpendiculare.

Întrebări conexe

Ce condiție pun ca diagonalele unui patrulater să fie perpendiculare?

Diagonalele $[A C]$ și $[B D]$ fac unghi drept numai dacă raportul $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{D} - z _{B}}$ are partea reală nulă. Varianta fără împărțire cere $Re [(z_{C} - z_{A}) \overline{(z_{D} - z_{B})}] = 0$ și este mai comodă atunci când afixele conțin parametri.

Cum arăt cu afixe că un patrulater este paralelogram?

Cea mai scurtă cale este egalitatea $z_{B} - z_{A} = z_{C} - z_{D}$ , care spune că laturile $[A B]$ și $[D C]$ au aceeași direcție și aceeași lungime. Echivalent, verifici că diagonalele au același mijloc, adică $z_{A} + z_{C} = z_{B} + z_{D}$ — o singură egalitate de numere complexe.

De ce criteriile se scriu cu diferențe de afixe, nu direct cu afixele?

Direcția unei drepte este dată de segmentul orientat dintre două puncte ale ei, iar acesta are afixul $z_{B} - z_{A}$ . Raportul $\frac{z _{C}}{z _{B}}$ compară doar pozițiile față de origine și nu are nicio semnificație pentru dreapta $A B$ , așa că nu poate decide coliniaritatea.

La ce ajută criteriile cu afixe într-o problemă de geometrie?

Ele înlocuiesc construcțiile și calculele cu pante printr-un singur calcul algebric, valabil și când dreptele sunt verticale, caz în care panta nu există. În plus, aceeași expresie decide și paralelismul, și perpendicularitatea, după cum partea imaginară sau partea reală se anulează.

Cum arăt că mijloacele laturilor unui patrulater formează un paralelogram?

Notezi mijloacele cu $m_{1} = \frac{z _{A} + z _{B}}{2}$ și analoagele, apoi calculezi $m_{2} - m_{1}$ și $m_{3} - m_{4}$ . Ambele diferențe ies egale cu $\frac{z _{C} - z _{A}}{2}$ , deci două laturi opuse ale patrulaterului mic sunt paralele și congruente.

Ce condiție de nenulitate cer criteriile scrise cu rapoarte de afixe?

Numitorul trebuie să fie nenul, deci punctele care îl formează trebuie să fie distincte. La paralelism se cere în plus ca raportul să fie real nenul, altfel dreptele ar coincide sau un segment ar fi degenerat, iar la perpendicularitate raportul trebuie să fie pur imaginar nenul.

Oamenii mai întreabă și: coliniaritate cu numere complexe · cum arăt că trei puncte sunt coliniare cu afixe · condiția de coliniaritate a trei afixe · raport real coliniaritate