Cum calculez rapid o combinare cu k mare?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Combinări complementare

Folosești egalitatea $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ și treci la indicele mai mic. A alege $k$ elemente înseamnă, în același timp, a hotărî care $n - k$ rămân afară, deci cele două numărători dau același rezultat. Astfel $C_{60}^{58}$ devine $C_{60}^{2} = \frac{60 \cdot 59}{2} = 1770$ , adică o singură înmulțire în locul unui șir foarte lung. Regula se vede și în simetria fiecărei linii din triunghiul lui Pascal.

Formula combinărilor complementare: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ , pentru orice $0 \leq k \leq n$ . Explicația în cuvinte: a alege $k$ elemente dintr-o mulțime cu $n$ elemente înseamnă, simultan, a alege cele $n - k$ elemente care rămân afară — o singură alegere, citită în două feluri. Se demonstrează fie prin calcul cu factoriale (numitorii $k! (n - k)!$ și $(n - k)! k!$ sunt identici), fie prin corespondența $S \mapsto M ∖ S$ dintre o submulțime și complementara ei.

Utilitate practică: dacă $k > \frac{n}{2}$ , calculezi $C_{n}^{n - k}$ în loc de $C_{n}^{k}$ — astfel $C_{100}^{98}$ devine $C_{100}^{2} = 4950$ , dintr-o singură socoteală, în loc de un produs cu $98$ de factori.

Cea mai costisitoare greșeală apare la ecuațiile $C_{n}^{a} = C_{n}^{b}$ : egalitatea are două familii de soluții, $a = b$ sau $a + b = n$ — nu doar prima. Ambele trebuie scrise și verificate față de condițiile $0 \leq a, b \leq n$ . Formula explică și de ce, pe fiecare linie a triunghiului lui Pascal, valorile cresc spre mijloc și scad simetric spre capete.

De reținut

$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$
dacă $k > \frac{n}{2}$ , calculezi $C_{n}^{n - k}$
$C_{n}^{a} = C_{n}^{b} ⟺ a = b$ sau $a + b = n$

Greșeala tipică

Se scrie doar $a = b$ la ecuația $C_{n}^{a} = C_{n}^{b}$ și se pierde jumătate din răspuns. Există și familia $a + b = n$ , care trebuie scrisă și verificată față de condițiile asupra indicilor.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $C_{60}^{58}$ .
- a) $1770$
- b) $3540$
- c) $60$
- d) $1830$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $1770$

$C_{60}^{58} = C_{60}^{2} = \frac{60 \cdot 59}{2} = 1770$ — mult mai rapid decât calculul direct cu $58$ de factori.
Determinați $n \in N$ pentru care $C_{n}^{n - 1} = 15$ .
- a) $n = 14$
- b) $n = 15$
- c) $n = 16$
- d) $n = 105$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $n = 15$

Prin combinări complementare, $C_{n}^{n - 1} = C_{n}^{1} = n$ . Ecuația devine $n = 15$ .
Rezolvați ecuația $C_{14}^{x} = C_{14}^{6}$ , cu $x \in N$ , $0 \leq x \leq 14$ .
- a) $x \in {6, 14}$
- b) $x = 6$ (unica soluție)
- c) $x \in {6, 8}$
- d) $x = 8$ (unica soluție)
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x \in {6, 8}$

Egalitatea are două familii de soluții: $x = 6$ sau $x + 6 = 14 \Rightarrow x = 8$ . Ambele respectă $0 \leq x \leq 14$ , deci $x \in {6, 8}$ .

Întrebări conexe

Ce sumă au cei doi indici de sus la două combinări complementare?

Exact numărul de jos: dacă unul este $k$ , celălalt este $n - k$ , iar adunându-i obții $n$ . Controlul acesta se face din ochi și prinde imediat o trecere greșită la complement, cum ar fi scrierea lui $C_{60}^{58}$ drept $C_{60}^{3}$ în loc de $C_{60}^{2}$ .

Care este cea mai mare combinare de pe o linie dată?

Cea din mijloc. Valorile urcă până la jumătatea liniei și apoi coboară simetric, tocmai fiindcă indicii complementari dau aceeași valoare. Pentru $n$ par vârful se află la indicele $\frac{n}{2}$ ; pentru $n$ impar există două valori egale, la indicii vecini din mijloc.

Ce condiții verific după ce găsesc familia a plus b egal n?

Ceri ca amândoi indicii să fie numere naturale cuprinse între $0$ și $n$ . O valoare care iese negativă sau care depășește numărul de sus se respinge, chiar dacă rezolvă ecuația formal. Verificarea aceasta se scrie explicit, fiindcă baremul o cere.

La ce alte formule ajută trecerea la indicele complementar?

La restrângeri și la dezvoltări: o sumă ca $C_{19}^{17} + C_{19}^{18}$ devine mai ușor de citit după ce indicii coboară la $2$ și $1$ . Tot ea scurtează calculul unui termen binomial, unde $C_{9}^{6}$ se socotește de fapt ca $C_{9}^{3}$ .

Ce valoare are n dacă C de n luate câte n minus 2 este 45?

Treci la indicele complementar: $C_{n}^{n - 2} = C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ . Ecuația devine $n (n - 1) = 90$ , iar două numere naturale consecutive cu acest produs sunt $9$ și $10$ , deci $n = 10$ . Verificarea confirmă: $C_{10}^{8} = C_{10}^{2} = 45$ .

Se poate aplica formula complementară la aranjamente?

Nu. Aranjamentele țin cont de ordine, iar elementele rămase afară nu se ordonează odată cu cele alese, așa că $A_{n}^{k}$ și $A_{n}^{n - k}$ nu au nicio legătură. Regula privește numai combinările, unde alegerea și ce rămâne sunt același lucru citit în două feluri.

Oamenii mai întreabă și: combinări complementare · C de n luate câte k egal C de n luate câte n minus k · cum calculez rapid C de 100 luate câte 98 · simetria combinărilor · ecuația cu două combinări egale