Ce sunt combinările și cum se calculează?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Combinări: definiție și formulă

Sunt submulțimile de $k$ elemente alese dintr-o mulțime cu $n$ elemente, luate fără să conteze ordinea. Numărul lor este $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ , adică aranjamentele împărțite la $k!$ , fiindcă fiecare submulțime a fost numărată o dată pentru fiecare ordonare a ei. Practic scrii $k$ factori descrescători începând cu $n$ , sub ei $k!$ , și simplifici înainte de a înmulți: $C_{7}^{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$ .

O combinare de $n$ elemente luate câte $k$ este o submulțime cu $k$ elemente a unei mulțimi cu $n$ elemente: ordinea nu contează, elementele nu se repetă. Numărul lor, $C_{n}^{k}$ , se deduce din aranjamente: fiecare submulțime cu $k$ elemente poate fi ordonată în $k!$ moduri, deci $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$ , de unde $C_{n}^{k} = \frac{A _{n}^{k}}{k !} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} .$ Practic, la numărător pui $k$ factori descrescători începând cu $n$ , la numitor $k!$ , și simplifici înainte de a înmulți. În lecțiile și testele de pe Matepolis se folosește peste tot notația românească $C_{n}^{k}$ .

Cazuri particulare: $C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ , $C_{n}^{1} = C_{n}^{n - 1} = n$ , $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ — formulă des întâlnită la strângeri de mână, meciuri, drepte determinate de puncte.

Testul decisiv pentru a alege între aranjamente și combinări: dacă schimbând între ele două elemente alese obții aceeași situație (o echipă, o comisie, o submulțime), folosești combinări; dacă obții alta, aranjamente.

De reținut

$C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = \frac{A _{n}^{k}}{k !}$
$C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ , $C_{n}^{1} = n$
$C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$

Greșeala tipică

Se scrie doar produsul celor $k$ factori descrescători, uitând împărțirea la $k!$ . Rezultatul obținut este de fapt numărul aranjamentelor, deci de $k!$ ori mai mare decât cel cerut.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $C_{7}^{3}$ .
- a) $35$
- b) $210$
- c) $21$
- d) $105$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $35$

$C_{7}^{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{210}{6} = 35$ .
Într-un grup de $15$ persoane, fiecare dă mâna cu fiecare exact o dată. Câte strângeri de mână au loc?
- a) $210$
- b) $105$
- c) $15$
- d) $225$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $105$

O strângere de mână e o pereche neordonată: $C_{15}^{2} = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105$ .
Câte diagonale are un decagon convex (poligon cu $10$ laturi)?
- a) $25$
- b) $45$
- c) $35$
- d) $90$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $35$

Toate segmentele determinate de cele $10$ vârfuri sunt $C_{10}^{2} = 45$ ; dintre ele, $10$ sunt laturi. Diagonale: $45 - 10 = 35$ .

Întrebări conexe

Cum se citește notația $C_{n}^{k}$ ?

Se rostește combinări de $n$ luate câte $k$ : jos stă numărul total de obiecte, sus numărul celor alese. În manualele străine aceeași mărime apare cu numerele așezate invers sau între paranteze mari, ceea ce încurcă la primul contact cu ele.

Câte drepte determină 8 puncte, dacă niciunele trei nu sunt coliniare?

Fiecare pereche de puncte dă o dreaptă, iar ordinea în care le iei nu contează, deci numărul este $C_{8}^{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$ . Condiția ca niciunele trei să nu stea pe aceeași dreaptă asigură că nicio dreaptă nu se repetă.

Câte submulțimi cu exact 3 elemente are o mulțime cu 6 elemente?

Alegi trei elemente fără să conteze ordinea: $C_{6}^{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} = 20$ . Valoarea aceasta este cea mai mare de pe linia $6$ a triunghiului lui Pascal, ceea ce se potrivește cu regula că numerele urcă până la mijlocul liniei.

Ce test decide între aranjamente și combinări?

Schimbi între ele două dintre elementele alese și te uiți dacă situația se schimbă. La o echipă fără roluri rămâne aceeași, deci ordinea nu contează și folosești combinări. La un podium sau la funcții diferite apare altă situație, deci lucrezi cu aranjamente.

Ce se schimbă dacă unele dintre obiectele alese sunt identice?

Formula cere obiecte deosebite între ele. Când unele se repetă, alegerile care doar le schimbă locul între ele nu mai dau submulțimi diferite, deci numărul scade și se calculează pe alt drum. Verifică de fiecare dată dacă elementele mulțimii sunt distincte.

De ce $C_{n}^{k}$ iese întotdeauna număr natural?

Pentru că el numără submulțimi, iar un număr de obiecte nu poate fi fracționar. Deși formula are factorial la numitor, împărțirea se face exact: produsul a $k$ numere consecutive se divide întotdeauna cu $k!$ . Un rezultat cu virgulă arată o greșeală de calcul.

Oamenii mai întreabă și: formula combinărilor · combinări de n luate câte k · cât face C de 7 luate câte 3 · submulțimi cu k elemente · de ce se împarte la k factorial