Cum compar două probabilități?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Compararea probabilităților: decizii

Aduci fracțiile la același numitor, ori le transformi în zecimale sau în procente, și abia apoi compari. Numărătorii singuri nu spun nimic: $\frac{2}{10}$ este mai mare decât $\frac{15}{80}$ , deși $15$ depășește $2$ , fiindcă $0, 2$ este mai mare decât $0, 1875$ . Numitorul comun dă răspunsul exact, zecimalele îl dau repede, iar procentele sunt potrivite atunci când rezultatul trebuie explicat cuiva.

Compararea a două probabilități se face prin numitor comun (exact), prin zecimale (rapid) sau prin procente (comunicare) — niciodată prin compararea numărătorilor când numitorii diferă: $\frac{2}{10} > \frac{15}{80}$ , deși $15 > 2$ .

Trei situații celebre arată cât de des greșește intuiția. La cavalerul de Méré, „de șase ori mai puțin probabil, dar de șase ori mai multe încercări” nu se compensează: $1 - (\frac{5}{6})^{4} \approx 0, 518$ față de $1 - (\frac{35}{36})^{24} \approx 0, 491$ . La paradoxul zilelor de naștere, într-o clasă de $23$ de elevi probabilitatea unei coincidențe depășește $50%$ , pentru că întrebarea privește orice pereche, iar perechile posibile sunt $C_{23}^{2} = 253$ . La problema celor trei uși, strategia „schimb” câștigă cu probabilitatea $\frac{2}{3}$ , dublu față de „rămân”, pentru că prezentatorul, știind unde e premiul, deschide mereu o ușă goală.

O creștere relativă („cu $50%$ mai mult”) nu e totuna cu una absolută (un punct procentual) — depinde de valoarea de referință. O decizie informată ține cont de probabilitate, de mărimea consecinței și de numărul de repetări, nu doar de un procent izolat.

De reținut

compară fracțiile la același numitor
paradoxul zilelor de naștere: $C_{23}^{2} = 253$ perechi
strategia „schimb” la trei uși câștigă cu $\frac{2}{3}$

Greșeala tipică

Se compară numărul de cazuri favorabile, nu raporturile: $\frac{15}{80}$ pare mai mare decât $\frac{2}{10}$ fiindcă $15 > 2$ . Probabilitatea este însă un raport, iar $0, 1875$ este mai mic decât $0, 2$ .

Exerciții din această mini-lecție

Compară fracțiile $\frac{5}{12}$ și $\frac{7}{18}$ . Care este mai mare?
- a) $\frac{5}{12}$
- b) Sunt egale
- c) Nu se pot compara
- d) $\frac{7}{18}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{5}{12}$

Numitor comun $36$ : $\frac{5}{12} = \frac{15}{36}$ și $\frac{7}{18} = \frac{14}{36}$ , deci $\frac{5}{12}$ este mai mare (aproximativ $0, 417$ față de $0, 389$ ).
Urna $A$ are $6$ bile roșii din $10$ ; urna $B$ are $9$ bile roșii din $16$ . Din care urnă e mai probabil să extragi o bilă roșie?
- a) Urna $B$
- b) Urna $A$
- c) Sunt egale
- d) Nu se poate determina
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Urna $A$

$P (A) = \frac{6}{10} = 0, 6$ și $P (B) = \frac{9}{16} = 0, 5625$ . Cum $0, 6 > 0, 5625$ , urna $A$ este mai avantajoasă, deși are mai puține bile roșii în valoare absolută.
Într-o clasă cu $30$ de elevi, probabilitatea ca cel puțin doi să aibă ziua de naștere în aceeași zi a anului este:
- a) sub $50%$
- b) exact $50%$
- c) peste $70%$
- d) sub $10%$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) peste $70%$

Prin evenimentul contrar, „toate zilele diferite” are probabilitatea $\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \dots \frac{336}{365} \approx 0, 294$ , deci probabilitatea unei coincidențe este $\approx 1 - 0, 294 = 0, 706$ , adică peste $70%$ — mult mai mult decât sugerează intuiția.

Întrebări conexe

De ce o probabilitate nu poate depăși valoarea 1?

Fiindcă numărul cazurilor favorabile nu întrece numărul cazurilor posibile, deci raportul rămâne cel mult unu. Valoarea $1$ înseamnă eveniment sigur, iar $0$ eveniment imposibil. Un rezultat peste unu arată că numitorul a fost ales greșit sau că unele cazuri au fost numărate de două ori.

Care este diferența dintre o creștere relativă și una absolută?

Creșterea relativă se raportează la valoarea de pornire, iar cea absolută se măsoară în puncte procentuale. Un risc care urcă de la $2%$ la $3%$ crește cu $50%$ relativ, dar numai cu un punct procentual absolut; ambele cifre sunt corecte și spun lucruri diferite.

De ce se compun prin înmulțire probabilitățile la încercări repetate?

Fiindcă la probe independente rezultatele se combină între ele, deci șansele se înmulțesc, nu se adună. Pariurile cavalerului de Méré arată limpede asta: trecerea de la $4$ la $24$ de aruncări înseamnă de șase ori mai multe încercări, însă șansa la o încercare scade tot de șase ori, de la $\frac{1}{6}$ la $\frac{1}{36}$ , iar valorile ies $0, 518$ și $0, 491$ .

Câte perechi de elevi există într-un grup de $23$ ?

Sunt $C_{23}^{2} = 253$ de perechi. Numărul mare de perechi explică paradoxul zilelor de naștere: șansa ca o pereche oarecare să aibă aceeași zi trece de jumătate, deși șansa ca cineva să se potrivească exact cu tine rămâne mică.

De ce prezentatorul deschide mereu o ușă goală?

Pentru că știe unde se află premiul și alege dinadins o ușă fără el. Gestul lui nu este întâmplător, deci aduce informație: probabilitatea rămâne $\frac{1}{3}$ pe ușa aleasă la început și se strânge la $\frac{2}{3}$ pe cealaltă ușă închisă.

De ce contează numărul de repetări într-o decizie?

Un eveniment rar devine aproape sigur dacă încercările sunt destul de multe, iar unul frecvent poate lipsi într-o singură probă. O decizie bună ține cont deodată de probabilitate, de mărimea consecinței și de câte ori se repetă situația.

Oamenii mai întreabă și: compararea a două probabilități · care probabilitate este mai mare · cum compar fracții de probabilitate · decizii pe baza probabilităților