Comparați $$\left(\dfrac13\right)^4$$ și $$\left(\dfrac13\right)^7$$: care este mai mare?

nu se poate determina fără calcul

Cum știu care dintre două puteri e mai mare?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Compararea puterilor cu aceeași bază

Le aduci la aceeași bază și compari exponenții, folosind monotonia. La o bază mai mare decât $1$ , exponentul mai mare dă valoarea mai mare; la o bază cuprinsă între $0$ și $1$ , ordinea se întoarce. De pildă $(\frac{1}{3})^{4} > (\frac{1}{3})^{7}$ , iar $2^{300} > 4^{140}$ , fiindcă $4^{140} = 2^{280}$ . Când bazele nu se pot uni, scoți în față un divizor comun al exponenților și compari ce rămâne.

Când numerele au sute de cifre, comparările de puteri nu se fac cu calculatorul, ci cu monotonia funcției exponențiale, demonstrată în lecția anterioară. Regulile sunt simple și trebuie aplicate mereu cu discuția scrisă explicit.

Bază supraunitară ( $a > 1$ ): $a^{m} < a^{n} ⟺ m < n$ — ordinea exponenților se copiază direct în ordinea valorilor. Bază subunitară ( $0 < a < 1$ ): $a^{m} < a^{n} ⟺ m > n$ — sensul se răstoarnă; aici se pierd cele mai multe puncte la examen.

Compararea cu $1$ este cazul-vedetă: pentru $a > 1$ , $a^{m} > 1 ⟺ m > 0$ ; pentru $0 < a < 1$ , $a^{m} > 1 ⟺ m < 0$ . Punctul de basculare este mereu exponentul $0$ .

Când bazele diferă, există două strategii: le aduci la o bază comună (dacă sunt puteri ale aceluiași număr, de exemplu $4, 8, 16$ sunt toate puteri ale lui $2$ ) sau aduci puterile la același exponent, grupând după un divizor comun. Compararea nu se termină obligatoriu cu o inegalitate — uneori numerele sunt egale ( $9^{0, 3} = 2 7^{0, 2}$ ), și doar aducerea la formă comună arată asta. Greșeli frecvente: uitarea răsturnării la bază subunitară, confuzia dintre regula exponenților (aceeași bază) și regula bazelor (același exponent), și renunțarea prea devreme la numere „uriașe” care se compară, de fapt, în două rânduri.

De reținut

$a > 1$ : $a^{m} < a^{n} ⟺ m < n$
$0 < a < 1$ : $a^{m} < a^{n} ⟺ m > n$
comparația cu $1$ se face față de exponentul $0$

Greșeala tipică

Se păstrează sensul inegalității și la bază subunitară. Acolo funcția coboară, deci exponentul mai mare dă un rezultat mai mic, iar comparația trebuie întoarsă.

Exerciții din această mini-lecție

Comparați $(\frac{1}{3})^{4}$ și $(\frac{1}{3})^{7}$ : care este mai mare?
- a) sunt egale
- b) $(\frac{1}{3})^{7}$
- c) $(\frac{1}{3})^{4}$
- d) nu se poate determina fără calcul
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(\frac{1}{3})^{4}$

Bază subunitară: exponentul mai mic dă valoarea mai mare, deci $(\frac{1}{3})^{4} > (\frac{1}{3})^{7}$ .

Întrebări conexe

Ce se întâmplă cu ordinea exponenților la o bază mai mare decât 1?

Se păstrează întocmai: din $m < n$ rezultă $a^{m} < a^{n}$ . Funcția exponențială urcă acolo, deci ordinea de la exponenți se copiază în ordinea valorilor. Comparația se poate face astfel fără niciun calcul numeric, oricât de mari ar fi puterile.

Ce se întâmplă cu ordinea dacă exponenții sunt negativi?

Regula rămâne cea dată de bază, dar exponenții se compară ca numere întregi, deci $- 5$ este mai mic decât $- 2$ . La o bază supraunitară, puterea cu exponentul mai mic iese mai mică, chiar dacă amândouă valorile sunt subunitare.

Când este mai mare decât 1 o putere cu bază subunitară?

Numai când exponentul este negativ. Pentru $0 < a < 1$ avem $a^{m} > 1$ exact dacă $m < 0$ , fiindcă atunci puterea trece la numitor și fracția se răstoarnă. Punctul de basculare rămâne exponentul zero, unde orice putere dă $1$ .

La ce trebuie să fiu atent dacă baza depinde de necunoscută?

Discuți pe cazuri: la bază mai mare decât 1 ordinea exponenților se păstrează, la bază între 0 și 1 se întoarce, iar valorile care fac baza egală cu 1 sau negativă se scot de la început. Soluția finală reunește cazurile rămase.

De ce o putere cu bază pozitivă nu poate fi niciodată zero?

Fiindcă înmulțind numere strict pozitive nu se ajunge niciodată la zero, oricât de mic ar fi exponentul. Valorile se apropie de zero când exponentul coboară spre minus infinit, dar nu îl ating, iar axa orizontală rămâne asimptotă.

Se poate compara o putere direct cu un radical?

Da, după ce le scrii pe amândouă ca puteri cu exponent fracționar și le aduci la aceeași bază sau la același exponent. Radicalul $35$ devine $5^{1/3}$ , iar comparația cu $5^{0, 4}$ se face doar uitându-te la exponenți, baza fiind supraunitară.

Oamenii mai întreabă și: compararea puterilor cu aceeași bază · care putere este mai mare · cum compar 2 la 300 cu 3 la 200 · puteri cu bază subunitară comparare · compararea unei puteri cu 1