Cum se află conjugatul unui număr complex?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Conjugatul unui număr complex

Schimbi semnul părții imaginare și lași partea reală neatinsă: conjugatul lui $z = a + bi$ este $\overset{z}{ˉ} = a - bi$ . Astfel conjugatul lui $- 9 + 2 i$ este $- 9 - 2 i$ . Un număr real coincide cu propriul conjugat, iar unul pur imaginar are drept conjugat opusul său. Două relații se folosesc mereu: $z + \overset{z}{ˉ} = 2 Re z$ și $z \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2}$ , amândouă numere reale, a doua fiind și nenegativă.

Conjugatul lui $z = a + bi$ este $\overset{z}{ˉ} = a - bi$ : partea reală rămâne, partea imaginară își schimbă semnul. Un număr real își este propriul conjugat; un număr pur imaginar are drept conjugat opusul său; iar $\overline{\overline{z}} = z$ .

Două relații de aur, ambele numere reale:

$z + \overset{z}{ˉ} = 2 Re z, z \cdot \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2} \geq 0.$

De aici, $Re z = \frac{z + z ˉ}{2}$ și $Im z = \frac{z - z ˉ}{2 i}$ .

Conjugarea respectă operațiile: $\overline{z_{1} + z_{2}} = \overset{z_{1}}{ˉ} + \overset{z_{2}}{ˉ}$ , $\overline{z_{1} z_{2}} = \overset{z_{1}}{ˉ} \overset{z_{2}}{ˉ}$ , $\overline{z^{n}} = (\overset{z}{ˉ})^{n}$ — poți conjuga „pe bucăți”, ceea ce face posibil criteriul: $z \in R ⟺ z = \overset{z}{ˉ}$ , iar $z$ este pur imaginar (sau nul) $⟺ \overset{z}{ˉ} = - z$ . Cu acest criteriu poți demonstra că o expresie este reală fără să o calculezi efectiv, doar conjugând-o și comparând.

La ecuațiile în care apar simultan $z$ și $\overset{z}{ˉ}$ , metoda standard este: notezi $z = a + bi$ , cu $a, b \in R$ , înlocuiești și identifici părțile reală și imaginară cu membrul drept.

De reținut

$\overline{a + bi} = a - bi$
$z + \overset{z}{ˉ} = 2 Re z$ și $z \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2}$
$z \in R ⟺ z = \overset{z}{ˉ}$

Greșeala tipică

Se schimbă semnul amândurora părților, ceea ce dă opusul, nu conjugatul. Conjugarea atinge numai partea imaginară; partea reală rămâne exact cum era.

Exerciții din această mini-lecție

Care este conjugatul numărului $z = - 9 + 2 i$ ?
- a) $- 9 - 2 i$
- b) $9 - 2 i$
- c) $9 + 2 i$
- d) $- 2 + 9 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- 9 - 2 i$

Conjugarea schimbă doar semnul părții imaginare: $\overline{- 9 + 2 i} = - 9 - 2 i$ . Variantele b) și c) schimbă greșit și semnul părții reale.
Determinați $m \in R$ pentru care numărul $z = (m^{2} - 16) + (m - 3) i$ este real.
- a) $- 3$
- b) $3$
- c) $4$
- d) $- 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3$

$z$ este real când partea imaginară e nulă: $m - 3 = 0$ , deci $m = 3$ (atunci $z = 9 - 16 = - 7$ ).
Determinați $m \in R$ pentru care numărul $z = (2 m + 4) + (m^{2} - 25) i$ este pur imaginar.
- a) $- 5$
- b) $5$
- c) $- 2$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 2$

Cerem partea reală nulă și partea imaginară nenulă: $2 m + 4 = 0 \Rightarrow m = - 2$ , iar atunci $m^{2} - 25 = 4 - 25 = - 21 \neq = 0$ ✓. Deci $m = - 2$ .

Întrebări conexe

Care este conjugatul numărului minus 9 plus 2i?

Este $- 9 - 2 i$ : partea reală rămâne cum era, iar cea imaginară își schimbă semnul. Schimbarea și a părții reale ar da $9 - 2 i$ , un număr cu totul diferit, care nu are proprietățile conjugatului.

Cum scriu partea reală a lui z folosind conjugatul?

Din $z + \overset{z}{ˉ} = 2 Re z$ rezultă $Re z = \frac{z + z ˉ}{2}$ . În mod asemănător, partea imaginară se scrie $Im z = \frac{z - z ˉ}{2 i}$ . Formulele acestea sunt utile la demonstrații, unde nu vrei să desfaci numărul în componente și preferi să lucrezi direct cu $z$ și cu conjugatul lui.

Cât face produsul dintre 7 minus 24i și conjugatul lui?

Conjugatul este $7 + 24 i$ , iar produsul lor este $7^{2} + 2 4^{2} = 49 + 576 = 625$ . Rezultatul este un număr real nenegativ, ca întotdeauna, și se întâmplă să fie chiar pătratul lui $25$ , fiindcă cele trei numere formează un triplet pitagoreic.

Cum se comportă conjugarea față de sumă și față de produs?

Trece prin ele fără schimbări: conjugatul unei sume este suma conjugatelor, iar conjugatul unui produs este produsul conjugatelor. La fel pentru puteri și pentru câturi. De aceea poți conjuga o expresie bucată cu bucată, ceea ce face demonstrațiile mult mai scurte.

Câte dintre numerele 5, minus 3i, 2 plus 2i și minus 7 sunt egale cu conjugatul lor?

Egalitatea $z = \overset{z}{ˉ}$ înseamnă că partea imaginară este nulă, adică numărul este real. Dintre cele patru, doar $5$ și $- 7$ îndeplinesc condiția, deci răspunsul este două. Numărul $- 3 i$ are drept conjugat pe $3 i$ , iar $2 + 2 i$ pe $2 - 2 i$ .

Care este conjugatul unui număr pur imaginar?

Este chiar opusul lui: conjugatul lui $bi$ este $- bi$ . Criteriul se scrie $\overset{z}{ˉ} = - z$ și caracterizează numerele pur imaginare împreună cu zero. El este perechea criteriului $z = \overset{z}{ˉ}$ , care descrie numerele reale.

Oamenii mai întreabă și: conjugatul unui număr complex · z bar cum se calculează · produsul unui număr cu conjugatul lui · când este z egal cu conjugatul său · conjugatul sumei și al produsului