Când folosesc combinări și când aranjamente?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Contează ordinea? Alegerea metodei

Testul este simplu: schimbă între ele două dintre elementele alese. Dacă obții altă situație, ordinea are importanță și lucrezi cu aranjamente; dacă situația rămâne aceeași, folosești combinări. O comisie fără funcții, o echipă sau o submulțime cer $C_{n}^{k}$ ; un podium, o conducere cu roluri diferite sau cifrele unui număr cer $A_{n}^{k}$ . Legătura dintre ele este $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$ , fiindcă după alegere mai urmează ordonarea.

Trei întrebări, puse mereu în aceeași ordine, decid formula: (1) un element poate fi ales de mai multe ori? Dacă da, e regula produsului, $n^{k}$ . (2) Contează ordinea? Testul e simplu: schimbă între ele două elemente ale unei soluții — dacă obții altceva, ordinea contează; dacă nu, ai numărat de mai multe ori aceeași situație. Dacă ordinea nu contează, metoda e combinări, $C_{n}^{k}$ . (3) Se folosesc toate elementele sau doar o parte? Toate, în ordine: permutări, $P_{n} = n!$ . O parte, în ordine: aranjamente, $A_{n}^{k}$ .

Legătura dintre ele: $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$ — întâi alegi cele $k$ elemente ( $C_{n}^{k}$ moduri), apoi le ordonezi ( $k!$ moduri). De aceea aranjamentele sunt întotdeauna de $k!$ ori mai multe decât combinările corespunzătoare.

Cuvinte-semnal: echipă, comisie, delegație, juriu → combinări; clasament, podium, funcții distincte, cod cu simboluri distincte → aranjamente; cod cu repetiție, parolă unde simbolurile pot reveni → regula produsului. Când o singură formulă nu ajunge, împarți în cazuri disjuncte și aduni, sau numeri contrariul și scazi din total.

De reținut

se repetă elementele: $n^{k}$
ordinea contează, parte din elemente: $A_{n}^{k}$
ordinea nu contează: $C_{n}^{k}$ ; toate elementele, în ordine: $n!$

Greșeala tipică

Se folosesc aranjamentele la o echipă fără roluri, iar fiecare echipă ajunge numărată de $k!$ ori. Când mutarea a doi membri între ei nu schimbă nimic, formula corectă este cea a combinărilor.

Exerciții din această mini-lecție

Dintr-un grup de $8$ elevi se alege o comisie de $3$ , fără roluri diferite. Câte comisii există?
- a) $56$
- b) $336$
- c) $24$
- d) $512$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $56$

Testul schimbului: schimbând doi membri ai comisiei, comisia rămâne aceeași — ordinea nu contează, deci combinări: $C_{8}^{3} = 56$ .
Aceiași $8$ elevi. Câte moduri există de a alege un președinte, un secretar și un casier (funcții diferite)?
- a) $56$
- b) $336$
- c) $512$
- d) $24$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $336$

Schimbând doi elevi între funcții, obții altă conducere — ordinea contează, deci aranjamente: $A_{8}^{3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336 = 56 \cdot 3!$ .
Câte coduri de $3$ cifre se pot forma cu cifrele mulțimii ${1, 2, \dots, 6}$ , dacă o cifră se poate repeta?
- a) $20$
- b) $120$
- c) $216$
- d) $729$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $216$

Repetiția e permisă, deci se aplică regula produsului: $6^{3} = 216$ .

Întrebări conexe

Ce cuvinte din enunț trimit spre combinări și care spre aranjamente?

Echipă, comisie, delegație, juriu, grup, submulțime arată că ordinea nu contează, deci combinări. Clasament, podium, funcții diferite, președinte și secretar, cod cu simboluri distincte arată că ordinea schimbă situația, deci aranjamente. Când elementele se pot repeta, niciuna dintre formule nu se aplică, ci regula produsului.

Ce metodă folosesc când aleg din două grupuri deodată?

Alegi separat din fiecare grup și înmulțești rezultatele, fiindcă cele două alegeri sunt independente. Metoda din fiecare grup se stabilește după aceleași întrebări: dacă rolurile lipsesc, folosești combinări; dacă apar funcții diferite, aranjamente.

Cum aleg metoda la o problemă cu locuri numerotate?

Locurile numerotate fac ordinea să conteze, deci lucrezi cu aranjamente sau cu permutări, după cum ocupi o parte sau toate locurile. Dacă scaunele ar fi la fel și nenumerotate, aceeași așezare s-ar repeta de mai multe ori.

Cum număr cazurile în care ordinea contează doar pe o parte?

Desparți problema în două etape: partea ordonată se numără cu aranjamente, partea neordonată cu combinări, iar rezultatele se înmulțesc. Împărțirea trebuie făcută înainte de orice calcul, altfel una dintre metode se aplică peste tot și rezultatul iese greșit.

De ce numărul de posibilități scade dacă adaug o condiție?

Fiindcă orice condiție scoate din listă unele variante, fără să adauge nimic. Rezultatul cu restricție trebuie deci să fie cel mult egal cu cel fără restricție; dacă iese mai mare, undeva s-a numărat de două ori.

Ce relație leagă aranjamentele de combinări?

Egalitatea $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$ . Ca să obții o submulțime ordonată, alegi întâi cele $k$ elemente, în $C_{n}^{k}$ feluri, apoi le așezi într-o ordine, în $k!$ feluri. Raportul dintre cele două numărători rămâne astfel mereu $k!$ , oricare ar fi $n$ și $k$ .

Oamenii mai întreabă și: combinări sau aranjamente · cum aleg metoda de numărare · contează ordinea într-o problemă · cuvinte care arată că se folosesc combinări · legătura dintre aranjamente și combinări