Ce este creșterea exponențială, cu un exemplu?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Creșterea exponențială care «explodează»

Este creșterea în care mărimea se înmulțește la fiecare pas cu același factor, nu se mărește cu aceeași cantitate. O sumă de $1000$ de lei cu dobândă de $5%$ pe an devine $1000 \cdot 1, 0 5^{n}$ după $n$ ani, iar o cultură de bacterii care se dublează din jumătate în jumătate de oră ajunge, în trei ore, de $64$ de ori mai mare. Pașii cresc odată cu valoarea deja atinsă.

Creșterea liniară adună o cantitate fixă la fiecare pas (diferențe constante între termeni consecutivi), în timp ce creșterea exponențială înmulțește cu un factor fix (rapoarte constante). Pe aceleași date — de exemplu $1000$ de lei cu $5%$ pe an — dobânda simplă dă $1000 + 50 n$ lei, iar dobânda compusă dă $1000 \cdot 1, 0 5^{n}$ lei; primii ani sunt aproape identici, dar diferența se accelerează.

Cazul cel mai spectaculos este dublarea repetată: după $n$ dublări, mărimea se înmulțește cu $2^{n}$ (ca la legenda tablei de șah, unde ultima căsuță ar cere $2^{63}$ boabe). Pentru rate procentuale, regula lui $70$ estimează timpul de dublare: aproximativ $\frac{70}{p}$ perioade, pentru o rată de $p %$ .

Legea generală: orice creștere exponențială cu factor mai mare decât $1$ depășește, mai devreme sau mai târziu, orice creștere liniară, oricât de abruptă ar fi aceasta — pentru că dreapta adaugă mereu același pas, iar curba își mărește pasul proporțional cu valoarea deja atinsă. Atenție și la capcanele procentelor: două creșteri de $10%$ nu dau $20%$ , ci $1, 1 \cdot 1, 1 = 1, 21$ , adică $21%$ ; iar o creștere de $20%$ urmată de o scădere de $20%$ lasă o pierdere finală de $4%$ , nu revenirea la valoarea inițială.

De reținut

liniar: se adună mereu aceeași cantitate
exponențial: se înmulțește mereu cu același factor
regula lui $70$ : timpul de dublare este aproximativ $\frac{70}{p}$

Greșeala tipică

Se adună procentele aplicate unul după altul, ca și cum ar fi cantități. Ele sunt însă factori care se înmulțesc, așa că trei creșteri de câte cinci la sută nu dau cincisprezece la sută, ci ceva mai mult.

Exerciții din această mini-lecție

Este adevărat că orice creștere exponențială cu factor mai mare decât $1$ depășește, mai devreme sau mai târziu, orice creștere liniară?
- a) Da, întotdeauna, oricât de abruptă ar fi dreapta
- b) Nu, dacă panta dreptei este suficient de mare
- c) Da, dar numai dacă factorul exponențial este mai mare decât $2$
- d) Nu se poate ști fără un calcul explicit
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Da, întotdeauna, oricât de abruptă ar fi dreapta

Dreapta adaugă mereu același pas, dar curba își mărește pasul proporțional cu valoarea deja atinsă, deci depășește orice dreaptă la un moment dat — ca în comparația $2^{n}$ față de $100 n$ , unde răsturnarea are loc la $n = 10$ .
Un preț crește cu $10%$ , apoi crește din nou cu $10%$ . Cu ce procent a crescut prețul în total?
- a) $20%$
- b) $21%$
- c) $19%$
- d) $22%$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $21%$

Factorii se înmulțesc, nu se adună: $1, 1 \cdot 1, 1 = 1, 21$ , adică o creștere totală de $21%$ , pentru că a doua creștere se aplică valorii deja mărite.
Un preț crește cu $20%$ , apoi scade cu $20%$ . Care este modificarea finală față de prețul inițial?
- a) rămâne neschimbat ( $0%$ )
- b) scade cu $4%$
- c) crește cu $4%$
- d) scade cu $20%$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) scade cu $4%$

Factorul total este $1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$ , adică o scădere finală de $4%$ : creșterea s-a aplicat prețului mic, iar scăderea prețului deja mărit, deci nu se anulează.

Întrebări conexe

Cum calculez o sumă care crește cu 5 la sută pe an?

Înmulțești suma inițială cu $1, 05$ ridicat la numărul de ani. Pentru $1000$ de lei și trei ani obții $1000 \cdot 1, 0 5^{3} \approx 1158$ lei. Adunarea a $50$ de lei pe an ar da doar $1150$ , fiindcă acolo dobânda nu se aplică sumei deja mărite.

Ce este factorul de creștere într-un model exponențial?

Este numărul cu care se înmulțește mărimea la fiecare pas. La o creștere de zece la sută el este $1, 1$ , iar la o scădere de zece la sută este $0, 9$ . Dacă depășește unu, mărimea urcă; dacă se află între zero și unu, ea coboară.

Cum recunosc un tabel cu creștere exponențială?

Împarți fiecare valoare la cea dinaintea ei. Dacă rapoartele ies aproape egale, ai o creștere exponențială; dacă în schimb diferențele sunt egale, creșterea este liniară. La bacterii care se dublează, raportul este mereu doi.

Ce înseamnă scădere exponențială?

Este cazul în care factorul se află între zero și unu, deci mărimea se micșorează de fiecare dată cu același procent. Așa se comportă o substanță radioactivă sau cantitatea de medicament din sânge. Valoarea se apropie de zero fără să ajungă vreodată la el.

De ce o boală care se dublează des ajunge repede la milioane de cazuri?

Pentru că fiecare dublare pornește de la totalul deja atins, nu de la cel inițial. Douăzeci de dublări înseamnă înmulțire cu peste un milion, deși fiecare pas pare mic. De aceea intervalul dintre dublări contează mai mult decât numărul de cazuri de la început.

Oamenii mai întreabă și: ce înseamnă creștere exponențială · creștere exponențială exemple · diferența dintre creștere liniară și exponențială · dublare repetată