La un set cu $$n=9$$ valori (impar), ce faci cu valoarea mediană atunci când formezi cele două jumătăți pentru calculul cuartilelor?

O excluzi din ambele jumătăți.

O incluzi în jumătatea inferioară.

O incluzi în ambele jumătăți.

O înlocuiești cu media aritmetică.

Ce sunt cuartilele și cum se calculează?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Cuartilele Q1, Q2, Q3 — algoritmul cu jumătăți

Cuartilele $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $Q_{3}$ împart un șir ordonat crescător în patru părți cu același număr de valori. A doua este chiar mediana, prima este mediana jumătății de jos, iar a treia mediana jumătății de sus. La un număr impar de date, termenul din mijloc se scoate deoparte și nu se pune în niciuna dintre jumătăți. Pentru $3, 5, 7, 8, 9, 12, 15$ ies $Q_{1} = 5$ , $Q_{2} = 8$ , $Q_{3} = 12$ , deci abaterea intercuartilică este $7$ , iar amplitudinea $12$ .

Cuartilele $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $Q_{3}$ taie un set de date ordonat crescător în patru sferturi cu același număr de valori. $Q_{2}$ este chiar mediana; $Q_{1}$ este mediana jumătății inferioare, iar $Q_{3}$ este mediana jumătății superioare.

Regula-cheie, valabilă peste tot în acest capitol: când $n$ este impar, valoarea mediană nu intră în niciuna dintre cele două jumătăți — se exclude înainte de a împărți restul în două. Când $n$ este par, nu ai ce exclude: jumătățile sunt primele și ultimele $\frac{n}{2}$ valori.

Amplitudinea $A = x_{m a x} - x_{m i n}$ folosește doar cele două extreme, deci e rapidă, dar fragilă la valori aberante. Abaterea intercuartilică $IQR = Q_{3} - Q_{1}$ ignoră capetele și măsoară cât de „lat" e miezul datelor — jumătatea din mijloc. Cu cât $IQR$ e mai mic, cu atât setul e mai omogen.

Cele cinci numere $x_{m i n}, Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, x_{m a x}$ formează rezumatul în cinci numere al unui set și sunt exact ce se desenează într-un boxplot. Atenție: funcția QUARTILE din foile de calcul folosește altă convenție (interpolare) și poate da alte rezultate decât algoritmul cu jumătăți — la teme și la examen se folosește mereu algoritmul din lecție.

De reținut

$Q_{2}$ este mediana
$n$ impar: mediana nu intră în nicio jumătate
$IQR = Q_{3} - Q_{1}$ , $A = x_{m a x} - x_{m i n}$

Greșeala tipică

La un număr impar de date, valoarea mediană este lăsată într-una dintre jumătăți. Pentru $3, 5, 7, 8, 9, 12, 15$ jumătatea de jos este $3, 5, 7$ ; incluzând și pe $8$ ai obține $Q_{1} = 6$ în loc de $5$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pentru setul $4, 9, 2, 15, 7, 12, 20$ , cât este $Q_{1}$ ?
- a) $4$
- b) $2$
- c) $7$
- d) $9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4$

Ordonăm: $2, 4, 7, 9, 12, 15, 20$ ( $n = 7$ ). $Q_{2} = 9$ (poziția $4$ ). Excludem $9$ : jumătatea inferioară este $2, 4, 7$ , cu mediana $Q_{1} = 4$ .
Pentru setul $5, 12, 8, 20, 15, 25, 10, 18$ , cât este $Q_{3}$ ?
- a) $18$
- b) $19$
- c) $20$
- d) $21$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $19$

Ordonăm: $5, 8, 10, 12, 15, 18, 20, 25$ ( $n = 8$ , par). Jumătatea superioară (ultimele patru): $15, 18, 20, 25$ , cu mediana $Q_{3} = \frac{18 + 20}{2} = 19$ .
La un set cu $n = 9$ valori (impar), ce faci cu valoarea mediană atunci când formezi cele două jumătăți pentru calculul cuartilelor?
- a) O incluzi în jumătatea inferioară.
- b) O incluzi în ambele jumătăți.
- c) O excluzi din ambele jumătăți.
- d) O înlocuiești cu media aritmetică.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) O excluzi din ambele jumătăți.

Convenția folosită peste tot în acest capitol: la $n$ impar, valoarea mediană este tăietura centrală și nu intră în niciuna dintre cele două jumătăți; abia restul se împarte egal, câte $\frac{n - 1}{2}$ valori de fiecare parte.

Întrebări conexe

Ce cuartilă este mediana unui set de date?

A doua, notată $Q_{2}$ : ea lasă jumătate din valori sub ea și jumătate deasupra. Din acest motiv, calculul cuartilelor începe întotdeauna cu mediana, iar celelalte două se obțin repetând același procedeu pe fiecare jumătate.

Ce arată un IQR mic despre un set de date?

Arată că jumătatea din mijloc a valorilor este strânsă, deci setul este omogen în zona lui centrală. Fiindcă abaterea intercuartilică ignoră capetele, ea rămâne mică și atunci când există câteva valori foarte depărtate de rest.

De ce amplitudinea este fragilă la valori aberante?

Pentru că se calculează doar din cea mai mică și cea mai mare valoare. O singură măsurătoare greșită la un capăt schimbă rezultatul complet, deși restul datelor a rămas neatins. De aceea, alături de ea se raportează și abaterea intercuartilică.

Ce este rezumatul în cinci numere al unui set de date?

Este lista formată din valoarea minimă, $Q_{1}$ , mediana, $Q_{3}$ și valoarea maximă. Cele cinci numere descriu deodată poziția, întinderea și simetria datelor și sunt exact cele care se desenează într-un boxplot.

Ce procent din date se află sub prima cuartilă?

Un sfert, adică $25%$ dintre valori. Între $Q_{1}$ și $Q_{3}$ se află jumătate din date, iar peste $Q_{3}$ încă un sfert. Împărțirea aceasta este chiar motivul pentru care indicatorii se numesc cuartile.

Ce se întâmplă dacă nu ordonez datele înainte de cuartile?

Rezultatele nu mai înseamnă nimic. Tot algoritmul se bazează pe poziții într-un șir crescător, deci pe o listă amestecată vei calcula medianele unor jumătăți alese la întâmplare. Ordonarea este pasul zero, la fel ca la mediană.

Oamenii mai întreabă și: cuartile · cum se calculează cuartilele · Q1 și Q3 la un set de date · abaterea intercuartilică