Care dintre următoarele afirmații despre $$\mathbb{C}$$ este adevărată?

Orice ecuație polinomială de grad $$n\ge1$$ cu coeficienți complecși are exact $$n$$ soluții în $$\mathbb{C}$$.

$$i$$ este un număr real cu proprietăți speciale.

Pe $$\mathbb{C}$$ există o relație de ordine compatibilă cu operațiile, la fel ca pe $$\mathbb{R}$$.

Numerele complexe au fost inventate pentru a rezolva $$x^2+1=0$$.

De ce au fost inventate numerele complexe?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · De ce avem nevoie de numere complexe

Nu din dorința de a rezolva $x^{2} + 1 = 0$ , ci dintr-o nevoie practică apărută la ecuațiile de gradul al treilea. Formula lui Cardano trece obligatoriu printr-un radical dintr-un număr negativ chiar și atunci când toate cele trei soluții sunt reale. Bombelli a mers mai departe calculând ca și cum $- 1$ ar fi un număr, iar părțile imaginare s-au anulat între ele, lăsând răspunsul real căutat. Așa a apărut $i$ , cu $i^{2} = - 1$ .

Ecuația $x^{2} + 1 = 0$ nu are soluții reale: pentru orice $x$ real, $x^{2} \geq 0$ , deci $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ . Multă vreme, acest răspuns a fost perfect onorabil — presiunea reală pentru numere noi a venit de la formula ecuației de gradul al treilea (Cardano, del Ferro, Tartaglia): în cazul în care ecuația redusă $x^{3} = p x + q$ are trei soluții reale, formula trece obligatoriu printr-o rădăcină pătrată dintr-un număr negativ, chiar dacă datele și rezultatul final sunt reale. Bombelli a avut ideea decisivă: calculează mai departe, ca și cum $- 1$ ar fi un număr — cantitățile «imaginare» se anulează reciproc și lasă exact soluția reală căutată.

Unitatea imaginară $i$ e definită prin $i^{2} = - 1$ ; un număr complex are forma $z = a + bi$ , cu $a, b \in R$ , iar mulțimea lor este $C \supset R$ . Pentru $k > 0$ , $- k = i k$ — dar regula $a \cdot b = ab$ nu se aplică la numere negative: $- 4 \cdot - 9 = 2 i \cdot 3 i = 6 i^{2} = - 6$ , nu $36 = 6$ . Prima recompensă: $x^{2} = - k$ are acum soluțiile $x = \pm i k$ . Pierdere: pe $C$ nu există o relație de ordine compatibilă cu operațiile — nu are sens să scrii $i > 0$ .

De reținut

$i^{2} = - 1$ ; $- k = i k$ , pentru $k > 0$
$z = a + bi$ , cu $a, b \in R$
$a b = ab$ nu se aplică la numere negative

Greșeala tipică

Se înmulțesc doi radicali din numere negative ca și cum ar fi radicali obișnuiți. Fiecare se scrie întâi cu $i$ , altfel semnul rezultatului iese pe dos.

Exerciții din această mini-lecție

Rezolvați în $C$ ecuația $x^{2} + 9 = 0$ .
- a) $x = \pm 3 i$
- b) $x = \pm 3$
- c) $x = 9 i$
- d) $x = \pm 3 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = \pm 3 i$

$x^{2} = - 9$ , deci $x = \pm - 9 = \pm 3 i$ , pentru că $(3 i)^{2} = 9 i^{2} = - 9$ și, la fel, $(- 3 i)^{2} = - 9$ .
Calculați $- 16 \cdot - 4$ .
- a) $8$
- b) $- 8$
- c) $8 i$
- d) $- 8 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 8$

Se scrie întâi fiecare radical sub forma $bi$ : $- 16 = 4 i$ , $- 4 = 2 i$ , deci produsul este $4 i \cdot 2 i = 8 i^{2} = - 8$ . Regula $a b = ab$ nu se aplică aici — ar da greșit $64 = 8$ .
Care dintre următoarele afirmații despre $C$ este adevărată?
- a) $i$ este un număr real cu proprietăți speciale.
- b) Pe $C$ există o relație de ordine compatibilă cu operațiile, la fel ca pe $R$ .
- c) Orice ecuație polinomială de grad $n \geq 1$ cu coeficienți complecși are exact $n$ soluții în $C$ .
- d) Numerele complexe au fost inventate pentru a rezolva $x^{2} + 1 = 0$ .
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Orice ecuație polinomială de grad $n \geq 1$ cu coeficienți complecși are exact $n$ soluții în $C$ .

Aceasta este teorema fundamentală a algebrei. Celelalte trei sunt false: $C$ nu are ordine compatibilă cu operațiile, $i$ nu este real, iar motivul istoric real a fost ecuația de gradul al treilea, nu $x^{2} + 1 = 0$ .

Întrebări conexe

De ce nu are soluții reale ecuația x pătrat plus 1 egal 0?

Pentru că pătratul oricărui număr real este cel puțin zero, deci $x^{2} + 1$ este cel puțin $1$ și nu poate ajunge la zero. Concluzia nu înseamnă că ecuația e greșită, ci doar că răspunsul ei nu se află printre numerele reale.

Ce soluții are în complex ecuația x pătrat plus 9 egal 0?

Din $x^{2} = - 9$ obții $x = \pm 3 i$ , fiindcă $(3 i)^{2} = 9 i^{2} = - 9$ și, la fel, $(- 3 i)^{2} = - 9$ . Regula generală, pentru $k$ pozitiv, este $- k = i k$ . Ecuația are deci două răspunsuri, opuse între ele.

Cât face radical din minus 16, înmulțit cu radical din minus 4?

Scrii întâi fiecare factor sub forma cu $i$ : $- 16 = 4 i$ și $- 4 = 2 i$ . Produsul lor este $8 i^{2} = - 8$ . Aplicarea regulii obișnuite a radicalilor ar fi dat $64 = 8$ , adică semnul opus, deci un rezultat greșit.

De ce nu se aplică regula produsului radicalilor la numere negative?

Fiindcă egalitatea $a \cdot b = ab$ a fost demonstrată numai pentru numere nenegative. Folosită dincolo de acel domeniu, ea duce la contradicții vizibile, cum ar fi $- 1 = 1$ . De aceea fiecare radical dintr-un număr negativ se scrie mai întâi cu $i$ .

Rezultă din i la pătrat egal minus 1 că i ar fi minus 1?

Nu. Dacă $i$ ar fi $- 1$ , atunci $i^{2}$ ar fi $(- 1)^{2} = 1$ , nu $- 1$ . Doar pătratul lui $i$ este $- 1$ ; numărul însuși nu se află pe axa reală și nu poate fi comparat cu numerele obișnuite.

Cât face suma dintre 1 plus i, la pătrat, și 1 minus i, la pătrat?

Desfaci fiecare pătrat: $(1 + i)^{2} = 1 + 2 i + i^{2} = 2 i$ , iar $(1 - i)^{2} = 1 - 2 i + i^{2} = - 2 i$ . Adunându-le, părțile imaginare se anulează și rezultatul este $0$ . Exemplul arată cum două numere nereale pot da prin adunare un număr real.

Oamenii mai întreabă și: de ce avem nevoie de numere complexe · cine a inventat numerele complexe · unitatea imaginară i · radical din minus unu · ecuația x pătrat plus 1 egal 0