De ce X⁴+4 se descompune deși nu are rădăcini reale?

Pentru că regula „fără rădăcini reale, deci ireductibil” funcționează numai la gradul al doilea. Adunând și scăzând 4X² obții (X²+2)²-(2X)², adică (X²-2X+2)(X²+2X+2) — doi factori de gradul al doilea, fiecare cu discriminantul negativ.

Ce înseamnă polinom ireductibil?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Cărămizile din care e făcut un polinom

Un polinom de grad cel puțin $1$ se numește ireductibil peste o mulțime de numere atunci când nu se poate desface în doi factori de grade mai mici, cu coeficienți luați din acea mulțime. Răspunsul depinde de mulțime: $X^{2} + 1$ nu se descompune peste numerele reale, dar peste cele complexe devine $(X - i) (X + i)$ . Peste numerele complexe rezistă doar gradul întâi; peste numerele reale rezistă și trinoamele cu discriminantul negativ.

Un polinom de grad cel puțin $1$ este ireductibil peste o mulțime $K$ dacă nu poate fi scris ca produs de două polinoame cu coeficienți în $K$ , ambele de grad strict mai mic. Răspunsul depinde esențial de $K$ : $X^{2} + 1$ e ireductibil peste $R$ , dar peste $C$ se rupe în $(X - i) (X + i)$ . Peste $C$ , teorema fundamentală a algebrei garantează că singurele polinoame ireductibile sunt cele de gradul întâi: orice polinom se scrie $a_{n} (X - x_{1}) \dots (X - x_{n})$ .

Peste $R$ situația e diferită, pentru că un polinom cu coeficienți reali verifică $f (\overset{z}{ˉ}) = \overline{f (z)}$ , deci rădăcinile complexe nereale apar în perechi conjugate $a \pm bi$ . O astfel de pereche se „strânge” într-un factor real de gradul al doilea, $X^{2} - 2 a X + (a^{2} + b^{2})$ , cu discriminant $Δ = - 4 b^{2} < 0$ — ireductibil peste $R$ . Concluzia: factorii ireductibili peste $R$ au gradul $1$ sau gradul $2$ cu $Δ < 0$ , niciodată mai mult. Două consecințe utile: orice polinom real de grad impar are cel puțin o rădăcină reală, iar identități precum diferența de pătrate/cuburi sau trucul lui Sophie Germain ( $X^{4} + 4 a^{4}$ ) descompun rapid polinoame chiar și fără să le cauți rădăcinile.

De reținut

peste $C$ : doar gradul $1$ e ireductibil
peste $R$ : gradul $1$ și gradul $2$ cu $Δ < 0$
orice polinom real de grad impar are o rădăcină reală

Greșeala tipică

Se spune că un polinom fără rădăcini reale este ireductibil peste numerele reale. Afirmația e valabilă doar la gradul al doilea: $X^{4} + 4$ nu are rădăcini reale, dar se descompune în doi factori.

Exerciții din această mini-lecție

Care este descompunerea în factori ireductibili peste $R$ a polinomului $X^{4} - 81$ ?
- a) $(X - 3) (X + 3) (X^{2} + 9)$
- b) $(X - 3)^{2} (X + 3)^{2}$
- c) $(X - 9) (X + 9) (X^{2} + 3)$
- d) $(X^{2} - 9)^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(X - 3) (X + 3) (X^{2} + 9)$

$X^{4} - 81 = (X^{2} - 9) (X^{2} + 9) = (X - 3) (X + 3) (X^{2} + 9)$ . Trinomul $X^{2} + 9$ are $Δ = - 36 < 0$ , deci este ireductibil peste $R$ și descompunerea se oprește aici.
Care este descompunerea lui $X^{3} + 27$ peste $R$ ?
- a) $(X + 3) (X^{2} + 3 X + 9)$
- b) $(X + 3) (X^{2} - 3 X + 9)$
- c) $(X - 3) (X^{2} + 3 X + 9)$
- d) $(X + 3)^{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(X + 3) (X^{2} - 3 X + 9)$

Formula sumei de cuburi dă $X^{3} + 27 = (X + 3) (X^{2} - 3 X + 9)$ . Trinomul are $Δ = 9 - 36 = - 27 < 0$ , deci este ireductibil peste $R$ .
Descompuneți $X^{4} + 64$ peste $R$ , folosind identitatea lui Sophie Germain.
- a) $(X^{2} - 8 X + 8) (X^{2} + 8 X + 8)$
- b) $(X^{2} - 4 X + 16) (X^{2} + 4 X + 16)$
- c) $(X^{2} - 4 X + 8) (X^{2} + 4 X + 8)$
- d) $(X^{2} + 8)^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(X^{2} - 4 X + 8) (X^{2} + 4 X + 8)$

$X^{4} + 64 = X^{4} + 4 \cdot 2^{4}$ , deci $a = 2$ în identitatea $X^{4} + 4 a^{4} = (X^{2} - 2 a X + 2 a^{2}) (X^{2} + 2 a X + 2 a^{2})$ : $(X^{2} - 4 X + 8) (X^{2} + 4 X + 8)$ . Ambii factori au $Δ = 16 - 32 = - 16 < 0$ .

Întrebări conexe

Este $X^{2} + 4$ ireductibil peste numerele reale?

Da, fiindcă discriminantul lui este $- 16$ , deci nu are rădăcini reale, iar la gradul al doilea lipsa rădăcinilor reale înseamnă chiar ireductibilitate. Peste numerele complexe se descompune totuși, în $(X - 2 i) (X + 2 i)$ .

Ce discriminant are un factor de gradul al doilea ireductibil?

Are discriminantul strict negativ. Un astfel de factor provine dintr-o pereche de rădăcini complexe conjugate $a \pm bi$ și se scrie $X^{2} - 2 a X + (a^{2} + b^{2})$ , cu discriminantul $- 4 b^{2}$ , negativ pentru orice $b$ nenul.

De ce $X^{4} + 4$ se descompune deși nu are rădăcini reale?

Pentru că regula „fără rădăcini reale, deci ireductibil” funcționează numai la gradul al doilea. Adunând și scăzând $4 X^{2}$ obții $(X^{2} + 2)^{2} - (2 X)^{2}$ , adică $(X^{2} - 2 X + 2) (X^{2} + 2 X + 2)$ — doi factori de gradul al doilea, fiecare cu discriminantul negativ.

Numerele din fața factorilor sunt și ele factori ireductibili?

Nu. Într-o scriere ca $2 X (X - 1) (X + 1)$ , factorii ireductibili sunt $X$ , $X - 1$ și $X + 1$ , iar $2$ este doar coeficientul dominant. Constantele nenule nu au grad cel puțin $1$ , deci nu intră în discuția despre ireductibilitate.

Ce este trucul lui Sophie Germain?

Este identitatea $X^{4} + 4 a^{4} = (X^{2} - 2 a X + 2 a^{2}) (X^{2} + 2 a X + 2 a^{2})$ , care descompune o sumă ce pare de nedescompus. Se obține completând pătratul: aduni și scazi $4 a^{2} X^{2}$ , apoi folosești diferența de pătrate. Pentru $a = 1$ dă chiar descompunerea lui $X^{4} + 4$ .

Cum depinde ireductibilitatea de mulțimea în care lucrez?

Cu cât mulțimea coeficienților este mai bogată, cu atât mai puține polinoame rămân ireductibile. Peste numerele raționale, $X^{2} - 2$ este ireductibil; peste cele reale se rupe în $(X - 2) (X + 2)$ . De aceea răspunsul trebuie să spună întotdeauna peste ce mulțime se lucrează.

Oamenii mai întreabă și: polinom ireductibil · descompunerea în factori ireductibili · ce înseamnă ireductibil peste R · factori ireductibili peste C