O urnă are $$3$$ bile albe și $$2$$ negre; se extrag două bile fără revenire. Un elev desenează arborele pe culori ($$AA$$, $$AN$$, $$NA$$, $$NN$$) și spune că sunt $$4$$ cazuri posibile egal probabile. Ce este greșit?

Cele patru frunze nu au aceeași greutate; cazurile posibile reale, cu bile numerotate, sunt $$20$$

Nimic, arborele pe culori dă direct cazurile posibile corecte

Trebuia desenat arborele cu revenire, nu fără revenire

Numărul corect de cazuri posibile este $$2$$, nu $$4$$

Cum desenez arborele unei extrageri din urnă?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Diagrame arborescente pentru experimente

Prima întrebare este dacă bila se pune înapoi. Desenezi un nivel pentru fiecare extragere, iar din fiecare nod pornesc atâtea ramuri câte obiecte pot fi alese la pasul acela. Dintr-o urnă cu $5$ bile, la două extrageri cu revenire ies $5 \cdot 5 = 25$ de drumuri, iar fără revenire $5 \cdot 4 = 20$ . Fiecare drum complet, adică fiecare frunză, este un rezultat posibil, iar frunzele marcate dau cazurile favorabile.

Într-un experiment cu mai multe etape, fiecare frunză a arborelui este un rezultat posibil, deci $card (Ω)$ este numărul frunzelor, iar cazurile favorabile sunt frunzele marcate. Prima întrebare la orice problemă cu urne este cu revenire, fără revenire sau simultan: la o urnă cu $N$ bile din care extragi $2$ , cu revenire ai $N \cdot N$ cazuri, fără revenire $N \cdot (N - 1)$ , iar simultan (fără ordine) $\frac{N ( N - 1 )}{2} = C_{N}^{2}$ .

Cea mai frecventă greșeală a capitolului este arborele desenat pe categorii (culori, tipuri): frunzele „albă-albă”, „albă-neagră” etc. nu au aceeași „greutate” — o urnă cu $3$ albe și $2$ negre dă, la extragere fără revenire, $6$ , $6$ , $6$ și, respectiv, $2$ cazuri numerotate, nu $4$ cazuri egale. Remediul: numerotezi obiectele sau scrii numărul de variante pe fiecare ramură și înmulțești de-a lungul drumului. Când arborele are prea multe frunze (de exemplu $6^{3} = 216$ la trei zaruri), desenezi doar primele două niveluri și continui cu produsul. Restricțiile din enunț se traduc prin ramuri tăiate, șterse chiar în timpul construcției. Controlul obligatoriu: suma cazurilor favorabile ale unor evenimente disjuncte care acoperă tot $Ω$ trebuie să dea exact $card (Ω)$ .

De reținut

frunzele arborelui $=$ cazurile posibile
cu revenire: $N \cdot N$ ; fără revenire: $N (N - 1)$
simultan: $C_{N}^{2}$ , ordinea nu contează

Greșeala tipică

Arborele este desenat pe culori, iar frunzele sunt numărate ca și cum ar valora la fel. Într-o urnă cu $3$ albe și $2$ negre, drumul „albă–albă” acoperă $6$ cazuri, iar „neagră–neagră” doar $2$ .

Exerciții din această mini-lecție

O urnă conține $6$ bile ( $4$ albe, $2$ negre). Se extrag două bile, una după alta, fără revenire. Câte cazuri posibile există?
- a) $30$
- b) $36$
- c) $15$
- d) $12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $30$

Fără revenire, prima extragere are $6$ variante, iar a doua doar $5$ (o bilă a rămas afară): $6 \cdot 5 = 30$ .
Pentru aceeași urnă ( $4$ albe, $2$ negre), dacă extragerea se face cu revenire, câte cazuri posibile există?
- a) $30$
- b) $36$
- c) $15$
- d) $25$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $36$

Cu revenire, la fiecare etapă sunt disponibile toate cele $6$ bile: $6 \cdot 6 = 36$ .
O urnă are $3$ bile albe și $2$ negre; se extrag două bile fără revenire. Un elev desenează arborele pe culori ( $AA$ , $A N$ , $N A$ , $N N$ ) și spune că sunt $4$ cazuri posibile egal probabile. Ce este greșit?
- a) Nimic, arborele pe culori dă direct cazurile posibile corecte
- b) Trebuia desenat arborele cu revenire, nu fără revenire
- c) Cele patru frunze nu au aceeași greutate; cazurile posibile reale, cu bile numerotate, sunt $20$
- d) Numărul corect de cazuri posibile este $2$ , nu $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Cele patru frunze nu au aceeași greutate; cazurile posibile reale, cu bile numerotate, sunt $20$

Numerotând bilele, cazurile posibile sunt $5 \cdot 4 = 20$ , repartizate inegal pe cele patru frunze: $AA = 6$ , $A N = 6$ , $N A = 6$ , $N N = 2$ (total $20$ ). Un arbore pe culori tratat ca „ $4$ cazuri egale” duce la un răspuns greșit.

Întrebări conexe

Ce reprezintă frunzele unui arbore de probabilități?

Fiecare frunză este capătul unui drum complet prin arbore, deci un rezultat posibil al experimentului. Numărul frunzelor dă cazurile posibile, iar cele care îndeplinesc condiția din enunț dau cazurile favorabile. Numărătoarea se face pe frunze, nu pe ramuri.

Câte cazuri am la două extrageri simultane din cinci bile?

Zece, adică $C_{5}^{2}$ , fiindcă la extragerea simultană nu contează ordinea. Aceleași perechi ar apărea de două ori dacă ai număra ordonat, deci rezultatul ordonat, $5 \cdot 4 = 20$ , se împarte la $2$ .

Ce scriu pe ramurile unui arbore ca să nu greșesc numărătoarea?

Numărul de variante posibile pe fiecare ramură, apoi înmulțești valorile de-a lungul drumului. Fără aceste numere, ramurile desenate pe culori par la fel de grele, deși una poate acoperi șase cazuri și alta doar două.

Cum recunosc în enunț dacă extragerea este cu revenire?

Cauți formulările „se pune înapoi” sau „se reintroduce în urnă”. Cuvintele „succesiv”, „pe rând” și „simultan” arată extragere fără revenire; ultimul spune, în plus, că ordinea nu contează. Subliniază-le înainte de a începe desenul.

Ce se întâmplă cu arborele la trei aruncări de zar?

Ar avea $6^{3} = 216$ de frunze, prea multe pentru un desen. Desenezi doar primele două niveluri, ca să vezi tiparul, apoi continui cu produsul numerelor de variante. Arborele rămâne un instrument de gândire, nu o obligație de desen.

Ce înseamnă o ramură tăiată într-un arbore?

Este o alegere interzisă de restricțiile din enunț, ștearsă chiar în timpul construcției. Tăierea din mers scade mult numărul de drumuri de urmărit; dacă lași ramurile și le elimini la final, riști să numeri cazuri care nu erau permise.

Oamenii mai întreabă și: diagramă arborescentă la probabilități · arbore pentru extrageri din urnă · extragere cu revenire și fără revenire · cum desenez arborele unui experiment