Care e formula distanței dintre două puncte?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Distanța dintre două puncte în plan

Se folosește $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ , formulă obținută din teorema lui Pitagora, scrisă într-un triunghi dreptunghic ale cărui catete merg de-a lungul axelor. Pentru $A (1, 2)$ și $B (5, 5)$ obții $16 + 9 = 5$ . Ordinea punctelor nu contează, fiindcă diferențele apar la pătrat. Răspunsul se dă în formă exactă, cu radicalul adus la cea mai simplă scriere, iar aproximarea zecimală numai dacă se cere.

Pentru două puncte $A (x_{A}, y_{A})$ și $B (x_{B}, y_{B})$ , distanța dintre ele este dată de formula $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2},$ obținută din teorema lui Pitagora aplicată triunghiului dreptunghic cu vârful auxiliar $C (x_{B}, y_{A})$ : catetele $A C = ∣ x_{B} - x_{A} ∣$ și $C B = ∣ y_{B} - y_{A} ∣$ sunt paralele cu axele, iar $A B$ este ipotenuza.

Cazuri particulare: dacă $y_{A} = y_{B}$ (segment orizontal), $A B = ∣ x_{B} - x_{A} ∣$ ; dacă $x_{A} = x_{B}$ (segment vertical), $A B = ∣ y_{B} - y_{A} ∣$ . Distanța de la origine se simplifică la $O P = x^{2} + y^{2}$ .

Ordinea punctelor nu contează: $(x_{B} - x_{A})^{2} = (x_{A} - x_{B})^{2}$ , deci $A B = B A$ . Rezultatul se lasă în formă exactă, cu radicalul simplificat (de exemplu $80 = 45$ ); valoarea zecimală se dă doar la cerere explicită.

Formula este un instrument de verificare: pentru un triunghi cu vârfuri date, calculezi cele trei laturi și decizi dacă e isoscel, echilateral sau dreptunghic (cu reciproca teoremei lui Pitagora). Pentru comparații, e mai simplu să lucrezi cu pătratele distanțelor, $A B = A C \Leftrightarrow A B^{2} = A C^{2}$ , evitând radicalii.

De reținut

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
segment orizontal: $A B = ∣ x_{B} - x_{A} ∣$ ; vertical: $A B = ∣ y_{B} - y_{A} ∣$
de la origine: $O P = x^{2} + y^{2}$

Greșeala tipică

În formulă sunt puse sumele coordonatelor, nu diferențele lor, iar rezultatul iese fără nicio legătură cu desenul. Se scad mereu abscisele între ele și ordonatele între ele, apoi se ridică la pătrat.

Exerciții din această mini-lecție

Distanța dintre punctele $A (- 3, 5)$ și $B (6, 5)$ este:
- a) $9$
- b) $0$
- c) $3$
- d) $- 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $9$

Punctele au aceeași ordonată ( $y = 5$ ), deci segmentul este orizontal și $A B = ∣6 - (- 3) ∣ = 9$ . Varianta b) greșește crezând că, dacă o coordonată coincide, punctele coincid — de fapt doar segmentul devine orizontal. Varianta c) ia jumătate din diferență, ca și cum ar exista un factor de $2$ ascuns în formulă. Varianta d) uită modulul și lasă diferența cu semn negativ, ceea ce e imposibil pentru o distanță.
Dacă punctele $A$ și $B$ au aceeași abscisă ( $x_{A} = x_{B}$ ), atunci distanța $A B$ este egală cu:
- a) $∣ y_{B} - y_{A} ∣$
- b) $∣ x_{B} - x_{A} ∣$
- c) $y_{B} - y_{A}$
- d) $x_{A}^{2} + y_{B}^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $∣ y_{B} - y_{A} ∣$

Dacă $x_{A} = x_{B}$ , termenul $(x_{B} - x_{A})^{2}$ din formula generală se anulează și rămâne $A B = (y_{B} - y_{A})^{2} = ∣ y_{B} - y_{A} ∣$ : segmentul este vertical, iar distanța se citește din diferența ordonatelor. Varianta b) confundă acest caz cu cel opus, al segmentului orizontal (ordonate egale). Varianta c) uită modulul, deși diferența poate fi negativă. Varianta d) amestecă greșit o coordonată a lui $A$ cu una a lui $B$ și nu corespunde niciunui caz al formulei.
Distanța de la origine $O (0, 0)$ la punctul $P (3, 4)$ este:
- a) $5$
- b) $25$
- c) $7$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $5$

$O P = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ . Varianta b) se oprește la $O P^{2} = 25$ și uită să extragă radicalul. Varianta c) adună direct coordonatele ( $3 + 4 = 7$ ) în loc să le ridice la pătrat și să aplice teorema lui Pitagora. Varianta d) le scade ( $∣3 - 4∣ = 1$ ), confundând distanța de la origine cu o diferență simplă de coordonate.

Întrebări conexe

Cât este distanța dintre punctele de coordonate minus 3, 4 și 1, 1?

Diferențele sunt $1 - (- 3) = 4$ pe orizontală și $1 - 4 = - 3$ pe verticală, deci $A B = 16 + 9 = 25 = 5$ . Semnul minus dispare la ridicarea la pătrat, așa că nu influențează rezultatul. Ordinea în care iei punctele nu schimbă nimic, fiindcă diferențele opuse au același pătrat.

Cum arăt că un triunghi cu vârfuri date este dreptunghic?

Calculezi pătratele celor trei laturi și verifici dacă cel mai mare este suma celorlalte două. Dacă egalitatea se verifică, reciproca teoremei lui Pitagora arată că unghiul opus laturii celei mai lungi este drept.

De ce este mai comod să compar pătratele distanțelor?

Fiindcă scapi de radicali, iar comparația rămâne aceeași: două lungimi pozitive sunt egale exact atunci când pătratele lor sunt egale. Metoda scurtează mult verificările de tipul „triunghiul este isoscel”.

Cum aflu lungimea unui segment paralel cu o axă?

Este de ajuns o scădere, luată în modul. La un segment orizontal, lungimea este diferența absciselor; la unul vertical, diferența ordonatelor. Formula generală dă același rezultat, fiindcă a doua diferență se anulează.

Ce lungime are diagonala unui pătrat cu vârfuri date?

Se calculează ca distanța dintre două vârfuri opuse. Pentru un pătrat cu latura $6$ , diagonala iese $36 + 36 = 62$ , adică aproximativ $8, 49$ . Rezultatul se potrivește cu formula cunoscută pentru diagonala pătratului.

Ce rază are un cerc dacă îi știu centrul și un punct de pe el?

Raza este chiar distanța dintre cele două puncte. Cu centrul $C (2, 1)$ și punctul $P (6, 4)$ obții $16 + 9 = 5$ . De aici se poate scrie și condiția ca alte puncte să se afle pe același cerc.

Oamenii mai întreabă și: distanța dintre 2 puncte formula · formula distanței dintre două puncte · cum calculez lungimea unui segment din coordonate · distanța de la origine la un punct · lungimea laturii unui triunghi cu vârfuri date