Raportul $$\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$$ al unui triunghi este pur imaginar și are modulul $$1$$. Ce se poate spune despre triunghi?

este dreptunghic isoscel, cu unghiul drept în $$A$$

este doar isoscel, fără unghi drept

Cum calculez distanța dintre două afixe?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Distanțe și unghiuri cu afixe

Distanța dintre punctele $A (z_{A})$ și $B (z_{B})$ este modulul diferenței afixelor: $A B = ∣ z_{B} - z_{A} ∣$ . Scriind diferența în formă algebrică, $∣ (x_{B} - x_{A}) + (y_{B} - y_{A}) i ∣$ , regăsești formula cu radical din geometria analitică. De exemplu, pentru $z_{A} = 1 + 2 i$ și $z_{B} = 4 + 6 i$ , diferența este $3 + 4 i$ , al cărei modul este $5$ , deci $A B = 5$ . Ordinea scăderii nu schimbă rezultatul, fiindcă $∣ z ∣ = ∣ - z ∣$ .

Diferența $z_{B} - z_{A}$ poartă două informații: modulul ei este distanța $A B$ , iar argumentul ei este direcția de la $A$ către $B$ . Teorema unghiului: pentru trei puncte $A, B, C$ ,

$\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = \frac{A C}{A B} (cos t + i sin t),$

unde $t$ este rotația care duce semidreapta $A B$ peste $A C$ . Din modulul raportului citești raportul laturilor, din argumentul lui citești măsura unghiului $∠ B A C$ — două informații complet independente: un raport de modul $1$ arată doar laturi egale, nu spune nimic despre unghi.

Criteriul practic cel mai folosit: $∠ B A C = 90° ⟺$ raportul e pur imaginar. Pentru natura unui triunghi, se compară pătratele laturilor (fără radicali): cu $a$ latura cea mai mare, $b^{2} + c^{2} > a^{2}$ dă ascuțitunghic, $=$ dă dreptunghic, $<$ dă obtuzunghic. Triunghiul echilateral are un criteriu curat: raportul $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} i$ .

Rotația unui punct $M (z)$ cu unghiul $t$ în jurul unui centru $M_{0} (z_{0})$ : $z^{'} = z_{0} + (z - z_{0}) (cos t + i sin t)$ ; pentru $t = 180°$ se obține simetria față de punct, $z^{'} = 2 z_{0} - z$ .

Această rotație generalizată transformă „mută originea, rotește, mută înapoi” într-o formulă de o linie și stă la baza construcției celui de-al treilea vârf al unui triunghi echilateral sau al unui pătrat, pornind doar de la două vârfuri cunoscute și de la unghiul potrivit.

De reținut

$A B = ∣ z_{B} - z_{A} ∣$
$∣ z - z_{0} ∣ = r$ descrie un cerc
compară pătratele laturilor, nu radicalii

Greșeala tipică

Se scrie $∣ z_{B} ∣ - ∣ z_{A} ∣$ în loc de $∣ z_{B} - z_{A} ∣$ ; modulul unei diferențe nu este diferența modulelor, iar rezultatul iese aproape mereu mai mic decât distanța adevărată.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $A (2 + i)$ și $B (2 + 7 i)$ , care este argumentul lui $z_{B} - z_{A}$ ?
- a) $\frac{π}{2}$
- b) $0$
- c) $π$
- d) $\frac{3 π}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{π}{2}$

$z_{B} - z_{A} = 6 i$ , un număr pur imaginar pozitiv, deci direcția de la $A$ la $B$ este verticală în sus, cu argumentul $\frac{π}{2}$ .
Pentru $A (0)$ , $B (3)$ , $C (3 + 3 i)$ , calculați $m (∠ B A C)$ .
- a) $90°$
- b) $45°$
- c) $60°$
- d) $30°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $45°$

$\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = \frac{3 + 3 i}{3} = 1 + i$ , cu argumentul $45°$ (partea reală și cea imaginară egale și pozitive).
Raportul $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}$ al unui triunghi este pur imaginar și are modulul $1$ . Ce se poate spune despre triunghi?
- a) este doar isoscel, fără unghi drept
- b) este echilateral
- c) este dreptunghic isoscel, cu unghiul drept în $A$
- d) nu se poate spune nimic
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) este dreptunghic isoscel, cu unghiul drept în $A$

Pur imaginar înseamnă unghi drept în $A$ ; modulul $1$ înseamnă $A C = A B$ . Combinate, dau triunghi dreptunghic isoscel cu unghiul drept în $A$ .

Întrebări conexe

De ce distanța dintre două puncte este modulul diferenței afixelor?

Segmentul orientat care duce de la $A$ la $B$ are afixul $z_{B} - z_{A}$ , iar modulul unui număr complex măsoară tocmai lungimea de la origine până la imaginea lui. Mutând segmentul în origine, lungimea rămâne neschimbată, așa că $A B = ∣ z_{B} - z_{A} ∣$ .

Ce figură descriu punctele al căror afix are modulul constant?

Condiția $∣ z ∣ = r$ cere ca distanța de la origine la imaginea lui $z$ să fie mereu $r$ , deci punctele stau pe cercul cu centrul în origine și raza $r$ . Mai general, $∣ z - z_{0} ∣ = r$ dă cercul de centru $M_{0} (z_{0})$ și rază $r$ , iar $∣ z - z_{0} ∣ \leq r$ discul închis.

Cum aflu perimetrul unui triunghi din afixele vârfurilor?

Calculezi pe rând laturile ca module de diferențe, $A B = ∣ z_{B} - z_{A} ∣$ , $B C = ∣ z_{C} - z_{B} ∣$ și $C A = ∣ z_{A} - z_{C} ∣$ , apoi le aduni. Fiecare modul iese cu radical din suma pătratelor părții reale și părții imaginare, deci perimetrul conține deseori radicali care nu se simplifică.

Ce reprezintă geometric modulul sumei a două afixe?

Dacă $M (z_{1})$ și $N (z_{2})$ sunt imaginile celor două numere, atunci $z_{1} + z_{2}$ este afixul celui de-al patrulea vârf al paralelogramului construit pe $O M$ și $O N$ , iar $∣ z_{1} + z_{2} ∣$ este lungimea diagonalei care pleacă din origine. De aici $∣ z_{1} + z_{2} ∣ \leq ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣$ .

Ce condiție arată că două segmente cu afixe date sunt congruente?

Segmentele $[A B]$ și $[C D]$ au aceeași lungime exact atunci când $∣ z_{B} - z_{A} ∣ = ∣ z_{D} - z_{C} ∣$ . În calcul ridici ambele module la pătrat, ca să scapi de radicali, și compari sumele de pătrate. Condiția nu spune nimic despre direcție: segmentele pot fi oricum așezate în plan.

Cum apar distanțele scrise cu afixe într-o problemă de Bacalaureat?

Cel mai des se cere natura unui triunghi cu vârfurile date prin afixe: afli laturile ca module, compari pătratele lor și decizi dacă triunghiul este isoscel, echilateral sau dreptunghic. Al doilea tipar cere mulțimea punctelor care verifică o egalitate de module, adică un cerc sau o mediatoare.

Oamenii mai întreabă și: distanța dintre două puncte cu afixe · lungimea unui segment cu numere complexe · modulul diferenței a două afixe · cum aflu AB din afixe