Știind că $$X - 2$$ divide $$X^3 - 8$$, care dintre următoarele afirmații rezultă IMEDIAT, fără niciun calcul suplimentar?

$$X - 2$$ divide $$X^5 - 8X^2$$

$$X - 2$$ divide $$X^3 - 8X^2$$

Când se divide un polinom cu altul?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Rest zero înseamnă factor găsit

Polinomul $g$ divide polinomul $f$ atunci când există un al treilea polinom $q$ cu $f = g q$ , adică atunci când $g$ apare ca factor într-o descompunere a lui $f$ . Criteriul de lucru: efectuezi împărțirea, iar dacă restul iese polinomul nul, divizibilitatea are loc. De exemplu, $X - 1$ divide $X^{3} - 1$ , fiindcă $X^{3} - 1 = (X - 1) (X^{2} + X + 1)$ . Un divizor al unui polinom nenul nu poate avea gradul mai mare decât acesta.

$g$ divide $f$ (notat $g ∣ f$ ) înseamnă că există un polinom $q$ astfel încât $f = g \cdot q$ — divizibilitatea este, în esență, o factorizare. Criteriul practic de lucru vine din unicitatea din teorema împărțirii cu rest: $g ∣ f$ dacă și numai dacă restul împărțirii lui $f$ la $g$ este polinomul nul. Faci împărțirea, te uiți la rest — rest zero înseamnă divizibilitate.

Proprietățile se demonstrează scoțând factorul comun în evidență: reflexivitatea ( $f ∣ f$ ), tranzitivitatea (dacă $h ∣ g$ și $g ∣ f$ , atunci $h ∣ f$ ) și proprietatea combinațiilor (dacă $g ∣ f_{1}$ și $g ∣ f_{2}$ , atunci $g$ divide orice combinație $h_{1} f_{1} + h_{2} f_{2}$ ). O regulă rapidă și gratuită: dacă $g ∣ f$ și $f \neq = 0$ , atunci $grad g \leq grad f$ .

Spre deosebire de numerele întregi, un divizor nu este niciodată unic: orice asociat $c \cdot g$ (cu $c$ constantă nenulă) divide la fel de bine, de aceea răspunsul se dă, prin convenție, în formă monică. Cea mai frecventă cerință de examen este determinarea unor parametri: efectuezi împărțirea cu parametrii cu tot și impui ca toți coeficienții restului să fie zero — un divizor de gradul $n$ dă exact $n$ ecuații.

De reținut

$g ∣ f ⟺ f = g q$
$g ∣ f ⟺$ restul este nul
$g ∣ f \neq = 0 \Rightarrow grad g \leq grad f$

Greșeala tipică

La un divizor de gradul al doilea se pune o singură condiție. Restul are forma $α X + β$ , deci trebuie anulați amândoi coeficienții, altfel obții o mulțime întreagă de valori false.

Exerciții din această mini-lecție

Știind că $X - 2$ divide $X^{3} - 8$ , care dintre următoarele afirmații rezultă IMEDIAT, fără niciun calcul suplimentar?
- a) $X - 2$ divide $X^{5} - 8 X^{2}$
- b) $X - 2$ divide $X^{3} - 8 X^{2}$
- c) $X - 2$ divide $X^{2} - 8$
- d) $X - 2$ divide $X - 8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $X - 2$ divide $X^{5} - 8 X^{2}$

Dacă $g$ divide $f$ , atunci $g$ divide și $f \cdot h$ , pentru orice polinom $h$ . Luând $h = X^{2}$ : $X^{2} (X^{3} - 8) = X^{5} - 8 X^{2}$ , deci $X - 2$ divide și acest polinom, fără nicio împărțire nouă.
Care este restul împărțirii lui $f = X^{4} + X^{3} - 4 X^{2} - 4 X$ la $g = X^{2} + X - 2$ ?
- a) $0$
- b) $- 2 X - 4$
- c) $2 X + 4$
- d) $- 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 2 X - 4$

Împărțind: primul termen al câtului este $X^{2}$ , apoi $- 2$ ; se obține câtul $X^{2} - 2$ și restul $- 2 X - 4$ . Cum restul e nenul, $g$ NU divide $f$ . Verificare: $(X^{2} + X - 2) (X^{2} - 2) + (- 2 X - 4) = X^{4} + X^{3} - 4 X^{2} - 4 X$ ✓.
Determinați $a, b \in R$ astfel încât $f = X^{4} + X^{3} + a X^{2} + b X - 24$ să se dividă cu $g = X^{2} + 2 X - 8$ .
- a) $a = - 7, b = - 14$
- b) $a = 7, b = - 14$
- c) $a = - 7, b = 14$
- d) $a = 14, b = - 7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $a = - 7, b = 14$

Efectuând împărțirea cu parametri și impunând rest nul se obține $a = - 7$ , $b = 14$ , cu câtul $X^{2} - X + 3$ . Verificare: $(X^{2} + 2 X - 8) (X^{2} - X + 3) = X^{4} + X^{3} - 7 X^{2} + 14 X - 24$ ✓.

Întrebări conexe

Ce înseamnă notația $g ∣ f$ ?

Se citește „ $g$ divide $f$ ” și spune că împărțirea se face fără rest, adică $f$ se scrie ca produs dintre $g$ și un alt polinom. Bara nu este semn de împărțire: la stânga ei stă divizorul, iar la dreapta polinomul care se descompune.

Ce proprietăți are divizibilitatea polinoamelor?

Orice polinom se divide pe sine; dacă $h$ divide $g$ și $g$ divide $f$ , atunci $h$ divide $f$ ; iar dacă $g$ divide două polinoame, divide și orice combinație de forma $h_{1} f_{1} + h_{2} f_{2}$ . Toate se demonstrează scriind descompunerile și dând factor comun.

Poate un divizor să aibă gradul mai mare decât polinomul?

Nu, dacă polinomul împărțit este nenul. Din $f = g q$ rezultă că gradul lui $f$ este suma gradelor, deci este cel puțin egal cu al lui $g$ . Excepția este polinomul nul, care se divide cu orice polinom nenul, câtul fiind tot polinomul nul.

De ce răspunsul la un divizor se dă în formă monică?

Pentru că orice polinom obținut înmulțind divizorul cu o constantă nenulă divide la fel de bine. Ca răspunsul să nu fie ambiguu, se alege prin convenție varianta cu coeficientul dominant egal cu $1$ , obținută împărțind la coeficientul dominant.

Cum arăt că un polinom NU se divide cu altul?

Faci împărțirea și găsești un rest nenul; atât ajunge. Când divizorul are gradul întâi, e mai scurt să înlocuiești rădăcina lui în polinom: dacă valoarea obținută nu este zero, divizibilitatea nu are loc, fără să mai faci vreo împărțire.

Care este diferența dintre rest zero și cât zero?

Ca să existe divizibilitate trebuie să se anuleze restul, în timp ce câtul este chiar factorul căutat. Dacă îți iese câtul egal cu zero și restul egal cu deîmpărțitul, ai aflat doar că gradul lui $f$ era mai mic decât gradul lui $g$ , deci împărțirea nici nu a pornit.

Oamenii mai întreabă și: divizibilitatea polinoamelor · când se divide un polinom cu altul · criteriul restului zero · g divide f polinoame