Când este adevărată propoziția $$p \Leftrightarrow q$$?

Doar când amândouă sunt adevărate.

Când cel puțin una este adevărată.

Când valorile lor de adevăr sunt diferite.

Care dintre următoarele echivalențe este adevărată?

«$$3\cdot 4 = 12 \Leftrightarrow 5+5=10$$»

«$$2>1 \Leftrightarrow 2>3$$»

«$$\sqrt{9}=3 \Leftrightarrow 9$$ este prim»

«$$7$$ este par $$\Leftrightarrow$$ $$7$$ este prim»

Prin ce se poate înlocui propoziția $$p \Leftrightarrow q$$?

$$(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)$$

$$(p \Rightarrow q) \vee (q \Rightarrow p)$$

Ce înseamnă «dacă și numai dacă»?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Echivalența «dacă și numai dacă»

Este operația care leagă două propoziții printr-o dublă săgeată, $p \Leftrightarrow q$ , și iese adevărată exact când cele două au aceeași valoare de adevăr, fie amândouă adevărate, fie amândouă false. Ea înseamnă $(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$ , deci o demonstrație are două părți. Un exemplu bun: un triunghi are toate laturile egale dacă și numai dacă toate unghiurile lui măsoară $6 0^{\circ}$ .

Echivalența a două propoziții se scrie $p \Leftrightarrow q$ și se citește «p dacă și numai dacă q». Ea este adevărată exact atunci când $p$ și $q$ au aceeași valoare de adevăr: ori sunt amândouă adevărate, ori amândouă false.

$p$	$q$	$p \Leftrightarrow q$
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Echivalența este, de fapt, dublă implicație: $p \Leftrightarrow q$ înseamnă $(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$ . De aceea, ca s-o demonstrezi, ai de făcut două drumuri: « $\Rightarrow$ » și « $\Leftarrow$ ».

În matematică, echivalențele sunt definițiile bune: «un număr natural este par dacă și numai dacă ultima lui cifră este $0$ , $2$ , $4$ , $6$ sau $8$ ». Atenție: multe afirmații adevărate într-un sens sunt false în celălalt. «Dacă $x = 3$ , atunci $x^{2} = 9$ » este adevărată, dar reciproca ei nu, pentru că $x$ ar putea fi $- 3$ .

De reținut

$p \Leftrightarrow q$ este adevărată când valorile coincid, inclusiv când sunt amândouă $0$
$p \Leftrightarrow q$ înseamnă $(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$
demonstrația are două părți, „ $\Rightarrow$ ” și „ $\Leftarrow$ ”

Greșeala tipică

Se cere o echivalență, dar pe foaie apare doar drumul de la stânga la dreapta, așa că jumătate din punctaj se pierde. Scrie două paragrafe separate, câte unul pentru fiecare săgeată.

Exerciții din această mini-lecție

Când este adevărată propoziția $p \Leftrightarrow q$ ?
- a) Doar când amândouă sunt adevărate.
- b) Când $p$ și $q$ au aceeași valoare de adevăr.
- c) Când cel puțin una este adevărată.
- d) Când valorile lor de adevăr sunt diferite.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Când $p$ și $q$ au aceeași valoare de adevăr.

Echivalența este adevărată pe două linii: $1 \Leftrightarrow 1$ și $0 \Leftrightarrow 0$ . Varianta a) descrie conjuncția, c) disjuncția, iar d) este exact contrariul echivalenței.
Care dintre următoarele echivalențe este adevărată?
- a) « $3 \cdot 4 = 12 \Leftrightarrow 5 + 5 = 10$ »
- b) « $2 > 1 \Leftrightarrow 2 > 3$ »
- c) « $9 = 3 \Leftrightarrow 9$ este prim»
- d) « $7$ este par $\Leftrightarrow$ $7$ este prim»
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) « $3 \cdot 4 = 12 \Leftrightarrow 5 + 5 = 10$ »

La a) ambele propoziții sunt adevărate, deci echivalența este adevărată. La b), c) și d) o parte este adevărată și cealaltă falsă ( $2 > 3$ fals, $9 = 3 \cdot 3$ nu e prim, $7$ nu e par), deci echivalențele sunt false.
Prin ce se poate înlocui propoziția $p \Leftrightarrow q$ ?
- a) $(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$
- b) $(p \Rightarrow q) \lor (q \Rightarrow p)$
- c) $p \land q$
- d) $\neg p \Rightarrow \neg q$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$

Echivalența este dubla implicație: și « $\Rightarrow$ », și « $\Leftarrow$ ». Varianta b) este adevărată chiar și când $p$ și $q$ diferă (una dintre implicații ține mereu), deci nu poate înlocui echivalența.

Întrebări conexe

Cum se citește cu voce tare semnul cu două săgeți?

„ $p$ dacă și numai dacă $q$ ”, iar în vorbirea de la ore se aude și „ $p$ echivalent cu $q$ ”. Aceeași idee se exprimă prin „ $p$ este condiție necesară și suficientă pentru $q$ ”. Toate trei formulările descriu exact aceeași operație.

Este «x egal cu 2» echivalent cu «x la pătrat egal cu 4»?

Nu, fiindcă doar un sens ține. Din $x = 2$ rezultă $x^{2} = 4$ , dar din $x^{2} = 4$ nu rezultă $x = 2$ : mai există soluția $x = - 2$ . Echivalența corectă este între $x^{2} = 4$ și enunțul „ $x = 2$ sau $x = - 2$ ”.

Ce operație are exact valorile opuse echivalenței?

„Ori…, ori…”, adică sensul exclusiv al lui „sau”. El este adevărat tocmai pe liniile pe care echivalența este falsă, adică atunci când cele două propoziții au valori diferite. Cele două operații sunt, așadar, negații una alteia.

De ce definițiile din manual sunt scrise ca echivalențe?

Pentru că o definiție trebuie să meargă în ambele sensuri: cine îndeplinește condiția intră în categorie, iar cine este în categorie îndeplinește condiția. Dacă ar merge doar într-un sens, ar exista obiecte care scapă printre degete și noțiunea nu ar fi bine delimitată.

Se pot lega trei propoziții printr-un lanț de echivalențe?

Da, iar atunci toate trei au aceeași valoare de adevăr. Lanțul se demonstrează comod în cerc: arăți că prima o dă pe a doua, a doua pe a treia, iar a treia pe prima. Astfel obții toate legăturile cu trei pași, nu cu șase.

Ce se întâmplă dacă schimb locul celor două propoziții?

Nu se schimbă nimic: echivalența este simetrică, deci $p \Leftrightarrow q$ și $q \Leftrightarrow p$ au aceeași valoare de adevăr. Spre deosebire de ea, implicația nu are această proprietate: întoarcerea săgeții poate transforma un enunț adevărat într-unul fals.

Oamenii mai întreabă și: dacă și numai dacă · echivalența în logică · dublă implicație · condiție necesară și suficientă · tabelul echivalenței