Care afirmație este adevărată despre o ecuație de gradul al doilea cu coeficienți complecși (nu toți reali)?

rădăcinile ei nu sunt neapărat conjugate

ecuația nu are soluții în $$\mathbb{C}$$

rădăcinile ei sunt întotdeauna conjugate

$$\Delta$$ trebuie să fie real

Cum extrag radical dintr-un număr complex?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Ec. gr. 2, coeficienți complecși

Cauți un număr $δ = u + v i$ al cărui pătrat să dea numărul $Z = x + y i$ . Din $δ^{2} = Z$ ies $u^{2} - v^{2} = x$ și $2 uv = y$ , la care se adaugă trucul modulului, $u^{2} + v^{2} = ∣ Z ∣$ . Adunând și scăzând, obții $u^{2} = \frac{∣ Z ∣ + x}{2}$ și $v^{2} = \frac{∣ Z ∣ - x}{2}$ , iar semnul lui $y$ arată dacă $u$ și $v$ au același semn. Orice număr nenul are exact două astfel de valori, opuse între ele, deci notația cu radical nu se folosește.

În $C$ nu există relație de ordine, deci nu mai are sens să discutăm după „semnul” lui $Δ$ . Întrebarea corectă devine: există $δ$ cu $δ^{2} = Δ$ ? Răspunsul e mereu da — orice număr complex nenul are exact două rădăcini pătrate, opuse, notate $δ$ (nu , pentru că nu putem alege canonic una).

Pentru $Z = x + y i$ , se caută $δ = u + v i$ prin sistemul $u^{2} - v^{2} = x$ , $2 uv = y$ , la care se adaugă „trucul modulului”, $u^{2} + v^{2} = ∣ Z ∣$ : de aici $u^{2} = \frac{∣ Z ∣ + x}{2}$ , $v^{2} = \frac{∣ Z ∣ - x}{2}$ , iar semnul lui $y$ decide dacă $u, v$ au același semn sau semne opuse.

Formula rădăcinilor devine $z_{1, 2} = \frac{- b \pm δ}{2 a}$ , cu $δ^{2} = Δ = b^{2} - 4 a c$ , valabilă pentru orice coeficienți complecși — nu contează care rădăcină pătrată a lui $Δ$ e aleasă drept $δ$ .

Diferența majoră față de coeficienții reali: rădăcinile nu mai sunt conjugate în general, pentru că demonstrația conjugării folosea $\overset{a}{ˉ} = a, \overset{ˉ}{b} = b, \overset{c}{ˉ} = c$ ; cu un singur coeficient nereal, raționamentul se rupe și rădăcinile pot avea module diferite. Relațiile lui Viète rămân însă valabile pentru orice coeficienți complecși, fără nicio modificare, ceea ce le face un instrument util de verificare rapidă a oricărei perechi de rădăcini găsite prin algoritmul de extragere.

De reținut

$δ^{2} = Δ$ , cu $z_{1, 2} = \frac{- b \pm δ}{2 a}$
$u^{2} = \frac{∣ Z ∣ + x}{2}$ , $v^{2} = \frac{∣ Z ∣ - x}{2}$
semnul lui $y$ decide semnele lui $u$ și $v$

Greșeala tipică

Se caută semnul discriminantului, ca la coeficienți reali. În mulțimea numerelor complexe nu există relație de ordine, deci întrebarea corectă este dacă discriminantul are rădăcini pătrate, iar răspunsul este întotdeauna da.

Exerciții din această mini-lecție

Care este una dintre rădăcinile pătrate ale numărului $Z = - 5 + 12 i$ ?
- a) $2 + 3 i$
- b) $2 - 3 i$
- c) $3 + 2 i$
- d) $5 + 12 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2 + 3 i$

$∣ Z ∣ = 13$ , deci $u^{2} = \frac{13 - 5}{2} = 4$ , $v^{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9$ ; cum $y = 12 > 0$ , $u, v$ au același semn: $δ = 2 + 3 i$ . Verificare: $(2 + 3 i)^{2} = 4 + 12 i - 9 = - 5 + 12 i$ ✓.
Câte rădăcini pătrate distincte are un număr complex nenul $Z$ ?
- a) $1$
- b) $2$
- c) $0$
- d) o infinitate
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $2$

Dacă $δ^{2} = Z$ , atunci $(- δ)^{2} = Z$ și nu mai există altă rădăcină, pentru că $w^{2} - δ^{2} = (w - δ) (w + δ) = 0$ forțează $w = \pm δ$ .
Care afirmație este adevărată despre o ecuație de gradul al doilea cu coeficienți complecși (nu toți reali)?
- a) ecuația nu are soluții în $C$
- b) rădăcinile ei sunt întotdeauna conjugate
- c) rădăcinile ei nu sunt neapărat conjugate
- d) $Δ$ trebuie să fie real
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) rădăcinile ei nu sunt neapărat conjugate

Proprietatea „rădăcinile sunt conjugate” cere ca toți coeficienții să fie reali. Cu un coeficient nereal, ea poate cădea, ca în exemplele lecției.

Întrebări conexe

De unde vine relația suplimentară cu modulul?

Din egalitatea modulelor: dacă $δ^{2} = Z$ , atunci $∣ δ ∣^{2} = ∣ Z ∣$ , adică $u^{2} + v^{2} = ∣ Z ∣$ . Ea se adaugă celor două ecuații venite din părți și transformă un sistem greu într-unul care se rezolvă prin simplă adunare și scădere.

Care este una dintre rădăcinile pătrate ale numărului minus 5 plus 12i?

Modulul numărului dat este $13$ , deci $u^{2} = \frac{13 - 5}{2} = 4$ și $v^{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9$ . Cum partea imaginară este pozitivă, cele două componente au același semn, așa că $δ = 2 + 3 i$ . Verificarea confirmă: $(2 + 3 i)^{2} = 4 + 12 i - 9 = - 5 + 12 i$ . Cealaltă rădăcină pătrată este opusul, adică $- 2 - 3 i$ .

Contează care dintre cele două valori ale lui delta o aleg?

Nu. Schimbând semnul lui $δ$ , rădăcinile doar fac schimb de locuri între ele, iar mulțimea soluțiilor rămâne aceeași. De aceea în formulă apare semnul dublu, iar oricare dintre valori duce la același răspuns final.

Ce rădăcini are ecuația z pătrat minus 4iz minus 5, egal 0?

Discriminantul este $(- 4 i)^{2} - 4 \cdot (- 5) = - 16 + 20 = 4$ , deci $δ = 2$ . Formula dă $z_{1, 2} = \frac{4 i \pm 2}{2} = 2 i \pm 1$ , adică $1 + 2 i$ și $- 1 + 2 i$ . Cele două rădăcini nu sunt conjugate, fiindcă un coeficient al ecuației nu este real.

Se aplică relațiile lui Viète și la coeficienți complecși?

Da, fără nicio schimbare: suma rădăcinilor este raportul dintre coeficientul de la mijloc cu semn schimbat și cel dominant, iar produsul este termenul liber împărțit la coeficientul dominant. Demonstrația folosește doar operațiile de corp, care funcționează la fel peste numerele complexe.

Care este partea imaginară a discriminantului ecuației cu coeficienții 1, minus 3 plus 2i și 5 minus 5i?

Coeficientul din mijloc al ecuației este $- 3 + 2 i$ , iar pătratul lui se calculează desfăcând paranteza: $9 - 12 i + 4 i^{2} = 5 - 12 i$ . Din el scazi $4 (5 - 5 i) = 20 - 20 i$ și obții discriminantul $Δ = - 15 + 8 i$ . Partea imaginară cerută este așadar $8$ .

Oamenii mai întreabă și: rădăcina pătrată a unui număr complex · de ce nu se scrie radical din z · ecuație de gradul doi cu coeficienți complecși · trucul modulului la extragerea radicalului · delta pătrat egal discriminantul