Ce fac dacă discriminantul este negativ?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Ecuația de gradul 2, Δ negativ

Peste numerele reale ecuația nu are soluții, dar peste numerele complexe are exact două, iar acestea sunt conjugate atunci când coeficienții sunt reali. Formula devine $z_{1, 2} = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$ : sub radical stă $- Δ$ , care este pozitiv tocmai fiindcă $Δ$ este negativ. Pentru $z^{2} - 4 z + 13 = 0$ ai $Δ = - 36$ , deci $z_{1, 2} = 2 \pm 3 i$ . Relațiile lui Viète rămân neschimbate, iar produsul rădăcinilor este chiar pătratul modulului.

Pentru $a z^{2} + b z + c = 0$ cu $a, b, c \in R$ și $Δ = b^{2} - 4 a c < 0$ , ecuația are în $C$ exact două rădăcini nereale:

$z_{1, 2} = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a} .$

Sub radical stă $- Δ$ , care este pozitiv tocmai pentru că $Δ$ e negativ; nu se scrie niciodată $Δ$ pentru $Δ < 0$ .

Când coeficienții sunt reali, cele două rădăcini sunt conjugate: dacă $z_{0}$ e rădăcină, atunci și $\overline{z_{0}}$ e rădăcină — demonstrația conjugă ecuația și folosește $\overset{a}{ˉ} = a, \overset{ˉ}{b} = b, \overset{c}{ˉ} = c$ . Relațiile lui Viète rămân neschimbate, $z_{1} + z_{2} = - b / a$ și $z_{1} z_{2} = c / a$ ; la coeficienți reali cu $Δ < 0$ , produsul este chiar $∣ z_{1} ∣^{2}$ .

Orice trinom se descompune peste $C$ : $a z^{2} + b z + c = a (z - z_{1}) (z - z_{2})$ , deci și trinoamele „ireductibile” peste $R$ capătă factori — în particular $α^{2} + β^{2} = (α + β i) (α - β i)$ , o sumă de pătrate care devine produs. La ecuațiile bipătrate, nicio valoare a notației $t = z^{2}$ nu se mai respinge: și valorile negative dau rădăcini (imaginare pure), deci o ecuație bipătrată are patru rădăcini în $C$ , numărate cu multiplicitate. Ea poate avea și patru rădăcini reale distincte: de exemplu, $z^{4} - 5 z^{2} + 4 = (z^{2} - 1) (z^{2} - 4)$ are rădăcinile $- 2, - 1, 1, 2$ . Nu în ultimul rând, evită capcana de a extinde regula $x y = x y$ la numere negative — ea produce „demonstrații” false ca $- 1 = 1$ .

De reținut

$Δ < 0$ : $z_{1, 2} = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$
coeficienți reali $\Rightarrow$ rădăcini conjugate
$z_{1} + z_{2} = - \frac{b}{a}$ , $z_{1} z_{2} = \frac{c}{a} = ∣ z_{1} ∣^{2}$

Greșeala tipică

Se scrie că ecuația nu are soluții, ca la un exercițiu limitat la numerele reale. Peste numerele complexe ea are întotdeauna două rădăcini, iar cerința trebuie citită cu atenție.

Exerciții din această mini-lecție

Rezolvați în $C$ ecuația $z^{2} - 4 z + 13 = 0$ .
- a) $2 \pm 3 i$
- b) $2 \pm 6 i$
- c) $4 \pm 3 i$
- d) $- 2 \pm 3 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2 \pm 3 i$

$Δ = 16 - 52 = - 36$ , deci $- Δ = 6$ și $z_{1, 2} = \frac{4 \pm 6 i}{2} = 2 \pm 3 i$ .
Care este produsul rădăcinilor ecuației $z^{2} + 2 z + 10 = 0$ ?
- a) $- 2$
- b) $10$
- c) $2$
- d) $- 10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $10$

Din Viète, $z_{1} z_{2} = c / a = 10/1 = 10$ , fără să fie nevoie de rezolvarea ecuației.
Descompuneți în factori de gradul întâi peste $C$ trinomul $z^{2} + 9$ .
- a) $(z - 3) (z + 3)$
- b) $(z - 9 i) (z + 9 i)$
- c) $(z - 3 i) (z + 3 i)$
- d) nu se poate descompune
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(z - 3 i) (z + 3 i)$

$z^{2} + 9 = z^{2} - (3 i)^{2} = (z - 3 i) (z + 3 i)$ , folosind $(3 i)^{2} = - 9$ .

Întrebări conexe

Ce soluții are în complex ecuația z pătrat minus 4z plus 13, egal 0?

Discriminantul este $16 - 52 = - 36$ , deci $- Δ = 6$ . Formula dă $z_{1, 2} = \frac{4 \pm 6 i}{2} = 2 \pm 3 i$ . Cele două rădăcini sunt conjugate, cum se întâmplă ori de câte ori toți coeficienții sunt numere reale.

Cum verific o rădăcină complexă găsită?

O înlocuiești în ecuație și faci calculul până la capăt, cu $i^{2} = - 1$ . Un control mai rapid trece prin relațiile dintre rădăcini și coeficienți: suma trebuie să dea coeficientul din mijloc cu semn schimbat, iar produsul termenul liber, amândouă împărțite la coeficientul dominant.

Ce legătură are discriminantul negativ cu graficul funcției reale?

Parabola nu atinge axa orizontală: stă în întregime deasupra ei dacă primul coeficient este pozitiv, sau dedesubt dacă este negativ. Lipsa punctelor de intersecție este chiar traducerea geometrică a faptului că ecuația nu are rădăcini reale.

Câte rădăcini distincte are ecuația z la a patra plus 10z pătrat plus 9, egal 0?

Notând $t = z^{2}$ , obții $t^{2} + 10 t + 9 = 0$ , cu rădăcinile $t = - 1$ și $t = - 9$ . Fiecare valoare negativă dă două numere pur imaginare: $z = \pm i$ și $z = \pm 3 i$ . Sunt deci patru rădăcini distincte.

Cât este modulul unei rădăcini a ecuației z pătrat minus 6z plus 25, egal 0?

Discriminantul este $36 - 100 = - 64$ , negativ, iar coeficienții fiind reali, rădăcinile sunt conjugate. Atunci produsul lor este pătratul modulului: $∣ z_{1} ∣^{2} = \frac{25}{1} = 25$ , deci modulul este $5$ . Nu ai avut nevoie de rădăcinile propriu-zise.

De ce se scrie radical din minus delta, și nu radical din delta?

Pentru că expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă ca să aibă sens ca număr real. Cum $Δ$ este negativ, opusul lui este pozitiv, iar unitatea imaginară se scoate în față. Scrierea cu radical din $Δ$ nu are înțeles aici.

Oamenii mai întreabă și: discriminant negativ ce înseamnă · ecuație de gradul al doilea cu delta negativ · rădăcini complexe conjugate · radical dintr-un număr negativ · descompunerea unui trinom peste complex