Care e ecuația dreptei printr-un punct dat?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Ecuația dreptei prin punct și pantă

Se folosește formula punct-pantă, $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ , unde $(x_{0}, y_{0})$ este punctul dat, iar $m$ panta. Scrii întâi formula cu paranteze și abia apoi înlocuiești numerele, ca să nu pierzi un semn. Pentru punctul $(3, 5)$ și panta $2$ obții $y - 5 = 2 (x - 3)$ , adică $y = 2 x - 1$ . Dacă panta este zero, dreapta iese orizontală, iar cea verticală se scrie direct, $x = x_{0}$ .

Un punct $A (x_{0}, y_{0})$ și o pantă $m$ determină o singură dreaptă. Formula care descrie această dreaptă este formula punct-pantă: $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ . Regula de aur este să scrii întâi formula cu paranteze, exact ca în model, și abia apoi să înlocuiești numerele — altfel se pierde ușor un semn, mai ales când $x_{0}$ sau $y_{0}$ sunt negative.

Desfăcând paranteza, ecuația se aduce la forma explicită $y = m x + n$ , unde $n = y_{0} - m x_{0}$ se numește termen liber; coeficientul lui $x$ este mereu panta. Pentru coeficienți întregi „curați", ecuația se poate aduce și la forma generală $a x + b y + c = 0$ .

Un punct aparține unei drepte dacă și numai dacă coordonatele lui verifică ecuația — un test de o singură înlocuire, care merge și invers, pentru a afla o coordonată necunoscută dintr-o condiție de apartenență.

Există două cazuri speciale: dacă $m = 0$ , dreapta este orizontală, $y = y_{0}$ ; dreapta verticală nu are pantă, deci formula nu i se aplică, iar ecuația ei se scrie direct, $x = x_{0}$ . Formula punct-pantă este și unealta naturală pentru a modela situații cu o valoare inițială și un ritm constant de schimbare, precum costul unei curse de taxi sau golirea unui rezervor.

De reținut

$y - y_{0} = m (x - x_{0})$
forma explicită: $y = m x + n$ , cu $n = y_{0} - m x_{0}$
dreapta verticală are ecuația $x = x_{0}$

Greșeala tipică

Pentru un punct cu abscisa $- 1$ se scrie paranteza $(x - 1)$ , deși scăderea unui număr negativ înseamnă adunare. Notează întâi $x - (- 1)$ și abia apoi simplifică în $(x + 1)$ .

Exerciții din această mini-lecție

Ecuația dreptei care trece prin $A (- 3, 4)$ și are panta $m = 2$ este:
- a) $y = 2 x + 10$
- b) $y = 2 x - 2$
- c) $y = - 2 x + 10$
- d) $y = 2 x + 6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $y = 2 x + 10$

Aplicăm formula punct-pantă cu $x_{0} = - 3$ , $y_{0} = 4$ , $m = 2$ : $y - 4 = 2 (x - (- 3)) = 2 (x + 3) \Rightarrow y - 4 = 2 x + 6 \Rightarrow y = 2 x + 10$ . Verificare: pentru $x = - 3$ , $y = - 6 + 10 = 4$ ✓.

Varianta a este corectă.

Varianta b ( $y = 2 x - 2$ ) apare dacă se scrie greșit paranteza ca $(x - 3)$ în loc de $(x + 3)$ — semnul lui $x_{0} = - 3$ se pierde: $y - 4 = 2 (x - 3) = 2 x - 6 \Rightarrow y = 2 x - 2$ .

Varianta c ( $y = - 2 x + 10$ ) apare dacă se schimbă din greșeală semnul pantei $m$ , deși panta dată este pozitivă.

Varianta d ( $y = 2 x + 6$ ) apare dacă, după ce se desface paranteza corect ( $y - 4 = 2 x + 6$ ), se uită să se adune $y_{0} = 4$ în membrul drept, oprindu-se la $y = 2 x + 6$ .
Ecuația dreptei orizontale care trece prin punctul $E (- 5, 7)$ este:
- a) $y = 7$
- b) $x = - 5$
- c) $y = - 5$
- d) $x = 7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $y = 7$

O dreaptă orizontală are panta $0$ , deci ecuația ei este $y = y_{0}$ ; pentru $E (- 5, 7)$ , ordonata este $7$ , deci $y = 7$ .

Varianta a este corectă.

Varianta b ( $x = - 5$ ) este ecuația dreptei verticale prin $E$ , nu a celei orizontale — confuzie clasică între cele două tipuri.

Varianta c ( $y = - 5$ ) folosește greșit abscisa lui $E$ ( $- 5$ ) în locul ordonatei ( $7$ ).

Varianta d ( $x = 7$ ) combină ambele greșeli: tip de dreaptă greșit (verticală în loc de orizontală) și coordonată greșită (abscisa în loc de ordonată).
Panta dreptei de ecuație generală $2 x + 5 y - 10 = 0$ este:
- a) $m = - \frac{2}{5}$
- b) $m = \frac{2}{5}$
- c) $m = 2$
- d) $m = - \frac{5}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $m = - \frac{2}{5}$

Izolăm $y$ : $5 y = - 2 x + 10 \Rightarrow y = - \frac{2}{5} x + 2$ , deci panta este coeficientul lui $x$ , adică $m = - \frac{2}{5}$ .

Varianta a este corectă.

Varianta b ( $\frac{2}{5}$ ) apare dacă se uită semnul minus care vine din mutarea lui $2 x$ în membrul drept.

Varianta c ( $m = 2$ ) apare dacă se ia direct coeficientul lui $x$ din forma generală ( $a = 2$ ), fără a mai izola $y$ și fără a împărți la coeficientul lui $y$ .

Varianta d ( $- \frac{5}{2}$ ) apare dintr-o inversare a coeficienților: se calculează $- \frac{b}{a} = - \frac{5}{2}$ în loc de $- \frac{a}{b} = - \frac{2}{5}$ .

Întrebări conexe

Ce ecuație are dreapta care trece prin origine cu panta 3?

Punctul este $(0, 0)$ , deci formula dă $y - 0 = 3 (x - 0)$ , adică $y = 3 x$ . Orice dreaptă care trece prin origine are termenul liber zero. Reciproc, o ecuație fără termen liber descrie o dreaptă care trece prin origine.

Cum aflu termenul liber dacă știu panta și un punct?

Îl scoți din egalitate: din $y_{0} = m x_{0} + n$ rezultă $n = y_{0} - m x_{0}$ . Pentru punctul $(3, 5)$ și panta $2$ iese $n = 5 - 6 = - 1$ . Rezultatul se potrivește cu forma obținută prin desfacerea parantezei.

Ce dreaptă descrie o cursă de taxi cu pornire și tarif?

Una cu termenul liber egal cu suma de pornire și panta egală cu tariful pe kilometru. Din datele „la $3$ kilometri costă $50$ de lei, iar tariful este $8$ lei pe kilometru” obții $V - 50 = 8 (t - 3)$ , adică $V = 8 t + 26$ .

Cum scriu ecuația unei paralele la o dreaptă dată?

Păstrezi panta și schimbi punctul. Pentru o paralelă la $y = 2 x + 7$ care trece prin $(1, 1)$ scrii $y - 1 = 2 (x - 1)$ , adică $y = 2 x - 1$ . Termenul liber diferit garantează că cele două drepte nu se ating.

Ce se întâmplă dacă înlocuiesc greșit coordonatele în formulă?

Dreapta obținută nu mai trece prin punctul dat, deși panta poate fi bună. Verificarea este imediată: pui coordonatele punctului în ecuația finală și vezi dacă egalitatea se confirmă. Dacă nu, ai schimbat între ele abscisa și ordonata.

Cum arăt că două ecuații descriu aceeași dreaptă?

Le aduci pe amândouă la forma cu $y$ izolat și compari panta și termenul liber. Ecuațiile $2 x - y - 1 = 0$ și $y = 2 x - 1$ dau exact aceleași două numere, deci descriu aceeași dreaptă, scrisă în două feluri.

Oamenii mai întreabă și: ecuația dreptei · formula punct-pantă · ecuația dreptei printr-un punct cu panta dată · y minus y zero egal m ori x minus x zero · cum scriu ecuația unei drepte