Rezolvați ecuația $$2x^3+5x^2-x-6=0$$.

$$\left\{1,-2,-\dfrac{3}{2}\right\}$$

$$\left\{1,2,\dfrac{3}{2}\right\}$$

$$\left\{1,-2,\dfrac{3}{2}\right\}$$

$$\left\{-1,2,\dfrac{3}{2}\right\}$$

Ecuația $$x^3+x^2-1=0$$ are coeficienți întregi. Ce se poate spune despre rădăcinile ei raționale?

nu are nicio rădăcină rațională, pentru că niciunul dintre candidații $$\pm 1$$ nu verifică ecuația

are rădăcina rațională $$x=-1$$

are rădăcina rațională $$x=1$$

are exact trei rădăcini raționale

De unde vin condițiile p | a₀ și q | aₙ?

Înlocuiești x= p/q în ecuație și înmulțești tot cu qⁿ. Grupând termenii care conțin p, rămâne qⁿ a₀ divizibil cu p; grupând pe cei cu q, rămâne pⁿ aₙ divizibil cu q. Fracția fiind ireductibilă, condițiile se transferă direct.

Cum caut rădăcinile întregi ale unei ecuații?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Vânătoarea rădăcinilor raționale

Dacă toți coeficienții sunt numere întregi, orice rădăcină întreagă trebuie să dividă termenul liber. Faci deci lista divizorilor lui, cu ambele semne, și îi testezi pe rând, cel mai rapid cu schema lui Horner. La $x^{3} - 7 x + 6 = 0$ termenul liber este $6$ , iar candidații sunt $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ ; ies rădăcinile $1$ , $2$ și $- 3$ . Teorema spune unde pot fi rădăcinile, nu că ele există.

De la gradul al cincilea încolo nu există formulă generală prin radicali (Abel, 1824), așa că ecuațiile algebrice de grad mare se rezolvă altfel: prin restrângerea listei de candidați. Dacă ecuația $a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0$ are coeficienți întregi, orice rădăcină întreagă divide termenul liber $a_{0}$ — se arată dând factor comun $x_{0}$ în egalitatea $f (x_{0}) = 0$ . Generalizarea, teorema rădăcinilor raționale, spune că orice rădăcină rațională $\frac{p}{q}$ , scrisă ireductibil, verifică $p ∣ a_{0}$ și $q ∣ a_{n}$ ; demonstrația înlocuiește $x = \frac{p}{q}$ , înmulțește cu $q^{n}$ și dă factor comun pe rând $p$ , respectiv $q$ . La ecuațiile monice ( $a_{n} = 1$ ) rezultă $q = \pm 1$ , deci orice rădăcină rațională e de fapt întreagă.

Rețeta practică: scrii lista completă de candidați $\frac{p}{q}$ cu ambele semne, îi testezi cu schema lui Horner — care spune deodată dacă $c$ e rădăcină și dă direct câtul —, cobori gradul cu fiecare rădăcină găsită și repeți căutarea. Ajuns la gradul $2$ , termini cu formula discriminantului, inclusiv rădăcini complexe dacă $Δ < 0$ . Teorema spune doar unde pot fi rădăcinile raționale, nu că există: dacă niciun candidat nu verifică, ecuația nu are rădăcini raționale, dar poate avea rădăcini iraționale sau complexe — exact raționamentul care demonstrează, de exemplu, iraționalitatea lui $2$ .

De reținut

rădăcină întreagă $\Rightarrow$ divide termenul liber
rădăcină $\frac{p}{q}$ : $p ∣ a_{0}$ și $q ∣ a_{n}$
la ecuații monice, rădăcinile raționale sunt întregi

Greșeala tipică

Se ignoră coeficientul dominant și se testează doar numere întregi. La $3 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 4 = 0$ , rădăcina $\frac{2}{3}$ apare numai dacă pui pe listă și numitorii care divid pe $3$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care sunt soluțiile ecuației $x^{3} + 4 x^{2} - x - 4 = 0$ ?
- a) ${- 4, - 1, 1}$
- b) ${- 4, - 1, - 1}$
- c) ${4, - 1, 1}$
- d) ${- 4, 1, 4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${- 4, - 1, 1}$

Prin grupare: $x^{2} (x + 4) - (x + 4) = (x + 4) (x^{2} - 1) = (x + 4) (x - 1) (x + 1)$ . Soluțiile sunt $- 4, - 1, 1$ .
Rezolvați ecuația $2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 6 = 0$ .
- a) ${1, 2, \frac{3}{2}}$
- b) ${1, - 2, - \frac{3}{2}}$
- c) ${1, - 2, \frac{3}{2}}$
- d) ${- 1, 2, \frac{3}{2}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ${1, - 2, - \frac{3}{2}}$

Candidați: $p ∣ 6$ , $q ∣ 2$ . $f (1) = 2 + 5 - 1 - 6 = 0$ ✓. Horner cu $c = 1$ dă câtul $2 x^{2} + 7 x + 6$ , cu $Δ = 49 - 48 = 1$ , deci $x = - 2$ sau $x = - \frac{3}{2}$ . Soluții: ${1, - 2, - \frac{3}{2}}$ .
Ecuația $x^{3} + x^{2} - 1 = 0$ are coeficienți întregi. Ce se poate spune despre rădăcinile ei raționale?
- a) are rădăcina rațională $x = - 1$
- b) are rădăcina rațională $x = 1$
- c) nu are nicio rădăcină rațională, pentru că niciunul dintre candidații $\pm 1$ nu verifică ecuația
- d) are exact trei rădăcini raționale
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) nu are nicio rădăcină rațională, pentru că niciunul dintre candidații $\pm 1$ nu verifică ecuația

Ecuația e monică, deci candidații sunt divizorii lui $1$ : $\pm 1$ . $f (1) = 1 \neq = 0$ și $f (- 1) = - 1 \neq = 0$ . Niciun candidat nu verifică, deci nu există rădăcini raționale.

Întrebări conexe

De ce nu există formulă generală pentru ecuațiile de gradul al cincilea?

Abel a demonstrat în $1824$ că, de la gradul al cincilea în sus, rădăcinile nu se pot scrie, în general, cu ajutorul celor patru operații și al radicalilor. De aceea metoda de lucru se schimbă: nu mai cauți o formulă, ci restrângi lista de candidați și cobori gradul.

De ce trebuie puși pe listă și candidații negativi?

Fiindcă divizorii unui număr întreg vin în perechi cu semne opuse: divizorii lui $6$ sunt $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ și $\pm 6$ . Dacă testezi doar numerele pozitive, pierzi jumătate din rădăcinile posibile, iar ecuația pare, fals, fără soluții raționale.

Ce fac după ce am găsit prima rădăcină a ecuației?

Cobori gradul: împarți cu schema lui Horner la $X - c$ și continui căutarea în cât, care are gradul cu unu mai mic. Aceeași rădăcină poate să apară din nou, dacă este multiplă, deci merită încercată încă o dată înainte de a trece la alt candidat.

Cum termin ecuația după ce am coborât gradul la doi?

Aplici formula discriminantului trinomului rămas. Dacă discriminantul este negativ, scrii și rădăcinile complexe, folosind $- 1 = i$ ; la o ecuație algebrică din clasa a zecea, soluțiile complexe fac parte din răspuns, nu se resping.

Poate o ecuație cu coeficienți întregi să aibă rădăcini iraționale?

Da. Ecuația $x^{2} - 2 = 0$ are coeficienți întregi, iar rădăcinile ei sunt $\pm 2$ . Faptul că niciun candidat rațional nu o verifică este chiar demonstrația clasică a faptului că $2$ nu se poate scrie ca fracție de numere întregi.

De unde vin condițiile $p ∣ a_{0}$ și $q ∣ a_{n}$ ?

Înlocuiești $x = \frac{p}{q}$ în ecuație și înmulțești tot cu $q^{n}$ . Grupând termenii care conțin $p$ , rămâne $q^{n} a_{0}$ divizibil cu $p$ ; grupând pe cei cu $q$ , rămâne $p^{n} a_{n}$ divizibil cu $q$ . Fracția fiind ireductibilă, condițiile se transferă direct.

Oamenii mai întreabă și: rădăcini întregi ale unei ecuații · teorema rădăcinilor raționale · divizorii termenului liber · cum rezolv o ecuație de gradul trei cu coeficienți întregi