Rezolvați ecuația $$x^3-8x^2+19x-14=0$$, știind că $$3+\sqrt2$$ este o rădăcină.

$$\{2,\ 3+\sqrt2,\ 3-\sqrt2\}$$

$$\{2,\ 3+\sqrt2,\ -3+\sqrt2\}$$

$$\{-2,\ 3+\sqrt2,\ 3-\sqrt2\}$$

De ce rădăcinile complexe vin în perechi?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · O rădăcină vine mereu cu perechea ei

Dacă un polinom are toți coeficienții reali și numărul $z = a + bi$ îl anulează, atunci și conjugatul $a - bi$ îl anulează, cu același ordin de multiplicitate. Motivul stă în egalitatea $f (\overset{z}{ˉ}) = \overline{f (z)}$ , adevărată tocmai pentru că un coeficient real coincide cu conjugatul lui. Din cele două rădăcini iese un factor real de gradul al doilea: pentru $2 + 3 i$ obții $x^{2} - 4 x + 13$ . Rezultă că rădăcinile nereale sunt totdeauna în număr par.

Dacă un polinom $f$ are coeficienți reali și $z = a + bi$ este rădăcină, atunci și conjugatul $\overset{z}{ˉ} = a - bi$ este rădăcină, cu același ordin de multiplicitate. Demonstrația se sprijină pe identitatea $f (\overset{z}{ˉ}) = \overline{f (z)}$ , valabilă pentru că un coeficient real coincide cu propriul conjugat. Perechea $a \pm bi$ dă un factor real de gradul al doilea, $x^{2} - 2 a x + (a^{2} + b^{2})$ , prin care poți împărți polinomul ca să cobori gradul. Consecință directă: rădăcinile nereale sunt în număr par, deci orice ecuație reală de grad impar are cel puțin o rădăcină reală — la grad par nu se garantează nimic ( $X^{4} + 1$ nu are nicio rădăcină reală).

O soră mai puțin cunoscută, dar la fel de utilă, se aplică la coeficienți raționali: dacă $α = a + b d$ (cu $d$ irațional) este rădăcină, atunci și $\overset{α}{ˉ} = a - b d$ este rădăcină, perechea generând factorul rațional $x^{2} - 2 a x + (a^{2} - b^{2} d)$ . Ipotezele nu se pot slăbi: prima teoremă cere neapărat $R$ ( $x - i = 0$ e contraexemplul), a doua cere neapărat $Q$ ( $x - 2 = 0$ e contraexemplul). O rădăcină dată înseamnă, practic, două — deci un factor de gradul al doilea gata format, cu care se poate coborî direct gradul ecuației.

De reținut

coeficienți reali: $z$ rădăcină $\Rightarrow \overset{z}{ˉ}$ rădăcină
perechea dă $x^{2} - 2 a x + (a^{2} + b^{2})$
coeficienți raționali: $a + b d$ vine cu $a - b d$

Greșeala tipică

Se confundă cele două ipoteze: pentru rădăcinile cu radical se cere ca toți coeficienții să fie raționali, nu doar reali. Cu coeficienți reali, perechea cu radical nu mai este obligatorie.

Exerciții din această mini-lecție

Știind că $2 + i$ este rădăcină a ecuației $x^{3} - 5 x^{2} + 9 x - 5 = 0$ cu coeficienți reali, care este factorul real de gradul al doilea corespunzător perechii conjugate?
- a) $x^{2} - 4 x + 5$
- b) $x^{2} - 4 x + 3$
- c) $x^{2} + 4 x + 5$
- d) $x^{2} - 2 x + 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x^{2} - 4 x + 5$

Suma este $4$ , produsul este $2^{2} + 1^{2} = 5$ , deci factorul este $x^{2} - 4 x + 5$ . Împărțind, $f = (x^{2} - 4 x + 5) (x - 1)$ , iar a treia rădăcină este $1$ .
Rezolvați ecuația $x^{3} - 8 x^{2} + 19 x - 14 = 0$ , știind că $3 + 2$ este o rădăcină.
- a) ${2, 3 + 2, - 3 + 2}$
- b) ${2, 3 + 2, 3 - 2}$
- c) ${- 2, 3 + 2, 3 - 2}$
- d) ${2, 3 \pm 3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ${2, 3 + 2, 3 - 2}$

Coeficienții sunt raționali, deci și $3 - 2$ este rădăcină. Factorul lor este $x^{2} - 6 x + 7$ ; împărțind, $f = (x^{2} - 6 x + 7) (x - 2)$ , deci a treia rădăcină este $2$ .
Care este ecuația monică de grad minim, cu coeficienți raționali, care are rădăcinile $7$ și $- 2$ ?
- a) $x^{3} - 2 x^{2} - 7 x + 14 = 0$
- b) $x^{2} - 7 = 0$
- c) $x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 14 = 0$
- d) $x^{3} + 2 x^{2} + 7 x - 14 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 14 = 0$

Coeficienții fiind raționali, apare obligatoriu și $- 7$ . Ecuația de grad minim ( $3$ ) este $(x^{2} - 7) (x + 2) = x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 14 = 0$ .

Întrebări conexe

Ce ordin de multiplicitate are conjugata unei rădăcini?

Același cu al rădăcinii de la care ai pornit. Dacă $2 + i$ este rădăcină dublă a unui polinom cu coeficienți reali, atunci și $2 - i$ este dublă, iar factorul real corespunzător apare la puterea a doua în descompunere.

Ce se întâmplă dacă printre coeficienți apare $i$ ?

Teorema nu se mai aplică. Polinomul $X - i$ are rădăcina $i$ , dar $- i$ nu îl anulează. Ipoteza esențială este ca toți coeficienții să fie reali; fără ea, conjugarea nu mai lasă polinomul neschimbat, deci raționamentul se rupe.

Cum cobor gradul unei ecuații știind o rădăcină complexă?

Adaugi conjugata, formezi factorul de gradul al doilea $x^{2} - 2 a x + (a^{2} + b^{2})$ și împarți ecuația la el. Câtul are gradul cu doi mai mic și de obicei se rezolvă imediat. O rădăcină complexă dată înseamnă, practic, două rădăcini știute.

Ce factor rațional dau rădăcinile de forma $a + b d$ ?

Dau factorul $x^{2} - 2 a x + (a^{2} - b^{2} d)$ , obținut din suma $2 a$ și produsul $(a + b d) (a - b d) = a^{2} - b^{2} d$ . Atenție la semn: aici produsul are minus, spre deosebire de cazul complex, unde ieșea $a^{2} + b^{2}$ .

Câte rădăcini nereale poate avea o ecuație reală de gradul al cincilea?

Cel mult patru, adică două perechi conjugate, fiindcă ele apar mereu câte două. Rămâne deci cel puțin o rădăcină reală. Aceasta este explicația faptului că orice ecuație cu coeficienți reali și grad impar are soluție reală.

De ce a doua teoremă cere coeficienți raționali, nu reali?

Pentru că peste numerele reale radicalul nu mai este „străin”: ecuația $x - 2 = 0$ are coeficienți reali și rădăcina $2$ , fără ca $- 2$ să fie rădăcină. Doar ipoteza mai tare, cu coeficienți raționali, forțează apariția perechii.

Oamenii mai întreabă și: rădăcini complexe conjugate · teorema rădăcinilor conjugate · de ce rădăcinile complexe apar în perechi · factor de gradul doi din rădăcini conjugate